ITA 2027 — questão 13 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: montar, com $\hbar$, $c$ e $r$, a única combinação que tem dimensão de massa. Não é para saber física de partículas — é para saber contar dimensões.

Passo 1 — escreva as três dimensões. Use $M$ para massa, $L$ para comprimento e $T$ para tempo.

• A constante de Planck reduzida tem dimensão de ação (energia × tempo, ou momento × comprimento):

$$[\hbar] = \frac{ML^{2}}{T^{2}}\cdot T = M\,L^{2}\,T^{-1}$$

• A velocidade da luz: $[c] = L\,T^{-1}$.

• O alcance: $[r] = L$.

Passo 2 — procure a combinação. Queremos $[\hbar^{a}c^{b}r^{d}] = M$. Substituindo:

$$M^{a}\,L^{2a+b+d}\,T^{-a-b} = M^{1}L^{0}T^{0}$$

Comparando expoente a expoente:

$$a = 1 \qquad -a-b = 0 \;\Rightarrow\; b = -1 \qquad 2a+b+d = 0 \;\Rightarrow\; d = -1$$

$$\boxed{\,m = \frac{\hbar}{c\,r}\,}$$

É a alternativa A.

Passo 3 — a conferência, que é rápida e deve ser sempre feita.

$$\left[\frac{\hbar}{cr}\right] = \frac{M L^{2}T^{-1}}{(LT^{-1})(L)} = \frac{M L^{2}T^{-1}}{L^{2}T^{-1}} = M \;\checkmark$$

Por que as outras quatro não podem ser. Nenhuma delas dá massa, e dá para ver sem conta fechada: $\hbar/c$ já é massa × comprimento, então é obrigatório dividir por um comprimento — exatamente um. Multiplicar por $c$ (alternativas B e D) só piora, porque $c$ não tem massa nenhuma para dar; dividir por $r^{2}$ (C) tira um comprimento a mais; dividir por $c^{2}$ (E) deixa um tempo sobrando.

⚠️ A armadilha é a memória, não a conta. Muita gente lembra de $E = mc^{2}$ e tenta $m = E/c^{2}$, procurando o $c^{2}$ na resposta — e cai na (E). Só que aqui não há energia dada; há $\hbar$, que é ação, não energia. Quando a questão é dimensional, escreva as dimensões e pare de lembrar fórmulas.

A física por trás, que é o motivo de a questão existir. Este é o argumento de Yukawa, de 1935. Se uma força é mediada pela troca de uma partícula de massa $m$, essa partícula só pode existir "emprestada" durante o tempo que o princípio da incerteza permite, $\Delta t \sim \hbar/(mc^{2})$. Viajando no máximo à velocidade $c$, ela alcança:

$$r \sim c\,\Delta t \sim \frac{\hbar}{mc} \;\Longrightarrow\; m \sim \frac{\hbar}{cr}$$

O mesmo resultado, agora com significado: o alcance de uma interação é o comprimento de onda Compton da partícula que a medeia. Força de alcance infinito (eletromagnetismo) pede mediador sem massa — o fóton. Força que morre em $\sim 10^{-15}\ \text{m}$ pede mediador pesado — o píon, com $m \approx 140\ \text{MeV}/c^{2}$, que é mais ou menos o que a fórmula prevê.

E o César Lattes não está ali por acaso. Foi ele, em 1947, em Bristol, quem identificou o píon nas emulsões nucleares — a partícula que Yukawa tinha previsto doze anos antes, com este raciocínio dimensional. A conta que você acabou de fazer é a conta que previu uma partícula.

A ideia em uma frase: $\hbar/c$ é massa vezes comprimento — então massa é $\hbar/(cr)$, e esse $r$ é o alcance da força.

Resposta: alternativa A.