ITA 2027 — questão 17 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a menor velocidade de partida que ainda leva a nave até a Lua. E a chave é perceber que ela não precisa chegar à Lua com velocidade: precisa chegar ao ponto neutro.

Passo 1 — o ponto neutro, que é o "alto da ladeira". Entre a Terra e a Lua existe um ponto onde as duas atrações se cancelam. Dali para a frente, a Lua puxa a nave — a viagem passa a ser ladeira abaixo. Achando esse ponto, a uma distância $x$ do centro da Terra:

$$\begin{gathered}\frac{GM}{x^{2}} = \frac{G(M/81)}{(D-x)^{2}} \\ \Longrightarrow\; \frac{D-x}{x} = \frac{1}{9} \;\Longrightarrow\; x = \frac{9D}{10}\end{gathered}$$

Ou seja: o ponto neutro está a $\dfrac{9D}{10}$ da Terra e a $\dfrac{D}{10}$ da Lua. É daqui que vêm os "10" e os "9" que aparecem em todas as alternativas — e reconhecer isso já confirma que o caminho é este.

A raiz $\sqrt{81}=9$ é o que faz a conta ser tão redonda: o ponto neutro divide a distância na razão $9:1$, independente de $G$, de $M$ e de $D$.

Passo 2 — a condição de mínimo. A nave chega ao ponto neutro com velocidade exatamente zero. Um fio de cabelo a mais e ela cai para o lado da Lua; um fio a menos e volta para a Terra.

Passo 3 — energia mecânica, contando as DUAS atrações nas duas pontas.

Na partida (superfície da Terra, pois o enunciado manda desprezar a altura orbital): distância $R$ da Terra, distância $D-R$ da Lua.

$$\begin{gathered}\frac{v_0^{2}}{2} - \frac{GM}{R} - \frac{GM/81}{D-R} \\ = 0 - \frac{GM}{9D/10} - \frac{GM/81}{D/10}\end{gathered}$$

Passo 4 — isolando $v_0$.

$$\begin{gathered}\frac{v_0^{2}}{2} = \frac{GM}{R} - \frac{10GM}{9D} \\ + \frac{GM}{81}\left(\frac{1}{D-R} - \frac{10}{D}\right)\end{gathered}$$

$$\boxed{\small\,v_0 = \sqrt{2GM\left[\begin{aligned}&\left(\frac{1}{R}-\frac{10}{9D}\right) \\ &+\frac{1}{81}\left(\frac{1}{D-R}-\frac{10}{D}\right)\end{aligned}\right]}\,}$$

É a alternativa C.

Passo 5 — a conferência de sinais, que é o que separa C de D e de B. Cada termo tem de ter o sinal do que ele representa:

Como $D \gg R$, o bloco da Lua vale aproximadamente $\frac{1}{81}\left(\frac{1}{D}-\frac{10}{D}\right) = -\frac{9}{81D} = -\frac{1}{9D}$ — negativo, como tem de ser: a Lua ajuda a viagem, então ela diminui a velocidade necessária. A alternativa D inverte o sinal desse bloco inteiro e, com isso, faz a Lua atrapalhar.

⚠️ A armadilha da (A) e da (E): $D+R$ em vez de $D-R$. A nave parte da superfície da Terra do lado voltado para a Lua (ela vai "exatamente ao longo da reta Terra–Lua"). Então a distância dela até a Lua é $D-R$, e não $D+R$. $D+R$ seria partir do lado oposto do planeta.

⚠️ A armadilha da (B): $+10/(9D)$. Sinal trocado no desconto: escreveria que ir só até o ponto neutro custa mais do que escapar ao infinito. Ponto intermediário sempre custa menos.

Por que 81 e não 80 ou 100. A razão real entre as massas é $M_{\text{Terra}}/M_{\text{Lua}} \approx 81{,}3$. A banca arredonda para 81 porque é quadrado perfeito — e é esse arredondamento que faz o ponto neutro cair em $9D/10$ exatamente. Um número "feio" como 80 daria $x = D\sqrt{80}/(1+\sqrt{80})$, impossível de escrever nas alternativas.

Para dar sentido ao número. A velocidade de escape da Terra é $\sqrt{2GM/R} \approx 11{,}2$ km/s. O desconto por só precisar chegar ao ponto neutro é de cerca de 2%: a $v_0$ desta conta dá aproximadamente 11,0 km/s. É por isso que ir à Lua custa quase o mesmo que escapar da Terra de vez — e é também por isso que missões lunares são caras.

A ideia em uma frase: não é preciso vencer a Terra inteira, só chegar ao ponto onde a Lua assume — e esse ponto está a nove décimos do caminho.

Resposta: alternativa C.