UNICAMP 2010 (2ª fase) — questão 3 de Física

Enunciado em texto

Esta prova aborda fenômenos físicos em situações do cotidiano, em experimentos científicos e em avanços tecnológicos da humanidade. Em algumas questões, como as que tratam de Física Moderna, as fórmulas necessárias para a resolução da questão foram fornecidas no enunciado. Quando necessário use $g = 10\ \text{m/s}^2$ para a aceleração da gravidade na superfície da Terra e $\pi = 3$.

Em 1948 Casimir propôs que, quando duas placas metálicas, no vácuo, são colocadas muito próximas, surge uma força atrativa entre elas, de natureza eletromagnética, mesmo que as placas estejam descarregadas. Essa força é muitas vezes relevante no desenvolvimento de mecanismos nanométricos.

a) A força de Casimir é inversamente proporcional à quarta potência da distância entre as placas. Essa força pode ser medida utilizando-se microscopia de força atômica através da deflexão de uma alavanca, como mostra a figura no espaço de resposta. A força de deflexão da alavanca se comporta como a força elástica de uma mola. No experimento ilustrado na figura, o equilíbrio entre a força elástica e a força atrativa de Casimir ocorre quando a alavanca sofre uma deflexão de $\Delta x = 6{,}4\ \text{nm}$. Determine a constante elástica da alavanca, sabendo que neste caso o módulo da força de Casimir é dado por $F_C = \dfrac{b}{d^4}$, em que $b = 9{,}6 \times 10^{-39}\ \text{Nm}^4$ e $d$ é a distância entre as placas. Despreze o peso da placa.

b) Um dos limites da medida da deflexão da alavanca decorre de sua vibração natural em razão da energia térmica fornecida pelo ambiente. Essa energia é dada por $E_T = k_B T$, em que $k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$ e $T$ é a temperatura do ambiente na escala Kelvin. Considerando que toda a energia $E_T$ é convertida em energia elástica, determine a deflexão $\Delta x$ produzida na alavanca a $T = 300\ \text{K}$ se a constante elástica vale $k_B = 0{,}21\ \text{N/m}$.

(Figura: duas placas horizontais e paralelas, separadas por $d = 100$ nm. A placa de baixo está presa à ponta de uma alavanca, cuja outra extremidade fica num suporte à esquerda. Na placa de baixo, uma seta para cima representa a força de Casimir $\vec{F}_C$ e uma seta para baixo, a força da alavanca $\vec{F}_{\text{alavanca}}$. A ponta da alavanca aparece curvada para cima; a distância entre a posição de repouso e a posição defletida (linhas tracejadas) é $\Delta x = 6{,}4$ nm.)

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2010, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.