UNICAMP 2010 (2ª fase) — questão 10 de Física

Enunciado em texto

Esta prova aborda fenômenos físicos em situações do cotidiano, em experimentos científicos e em avanços tecnológicos da humanidade. Em algumas questões, como as que tratam de Física Moderna, as fórmulas necessárias para a resolução da questão foram fornecidas no enunciado. Quando necessário use $g = 10\ \text{m/s}^2$ para a aceleração da gravidade na superfície da Terra e $\pi = 3$.

O GPS (Global Positioning System) consiste em um conjunto de satélites que orbitam a Terra, cada um deles carregando a bordo um relógio atômico. A Teoria da Relatividade Geral prevê que, por conta da gravidade, os relógios atômicos do GPS adiantam com relação a relógios similares na Terra. Enquanto na Terra transcorre o tempo de um dia ($t_{\text{Terra}} = 1{,}0\ \text{dia} = 86400\ \text{s}$), no satélite o tempo transcorrido é $t_{\text{sat\'elite}} = t_{\text{Terra}} + \Delta t$, maior que um dia, e a diferença de tempo $\Delta t$ tem que ser corrigida. A diferença de tempo causada pela gravidade é dada por $\left(\Delta t / t_{\text{Terra}}\right) = \left(\Delta U / mc^2\right)$, sendo $\Delta U$ a diferença de energia potencial gravitacional de uma massa $m$ entre a altitude considerada e a superfície da Terra, e $c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}$, a velocidade da luz no vácuo.

a) Para o satélite podemos escrever $\Delta U = mgR_T\left(1 - R_T/r\right)$, sendo $r \approx 4R_T$ o raio da órbita, $R_T = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}$ o raio da Terra e $g$ a aceleração da gravidade na superfície terrestre. Quanto tempo o relógio do satélite adianta em $t_{\text{Terra}} = 1{,}0$ dia em razão do efeito gravitacional?

b) Relógios atômicos em fase de desenvolvimento serão capazes de medir o tempo com precisão maior que uma parte em $10^{16}$, ou seja, terão erro menor que $10^{-16}$ s a cada segundo. Qual é a altura $h$ que produziria uma diferença de tempo $\Delta t = 10^{-16}$ s a cada $t_{\text{Terra}} = 1{,}0$ s? Essa altura é a menor diferença de altitude que poderia ser percebida comparando medidas de tempo desses relógios. Use, nesse caso, a energia potencial gravitacional de um corpo na vizinhança da superfície terrestre.

(Enunciado: Vestibular Unicamp 2010, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.