OBF 2023 (1ª fase, Nível II) — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o tamanho do “buraco” esférico que deixa o cubo de plástico exatamente tão “leve” quanto a água.

Passo 1 — a condição de equilíbrio. O cubo fica parado no meio da água quando o empuxo é igual ao peso. Isso acontece quando a densidade média do cubo (massa total dividida pelo volume total) é igual à da água, 1,0 g/cm³. O cubo todo ocupa:

$$V_{\text{cubo}} = 5{,}0^3 = 125\ \text{cm}^3$$

Então a massa do cubo tem de ser a de 125 cm³ de água:

$$m = 1{,}0 \cdot 125 = 125\ \text{g}$$

Passo 2 — quanto plástico há. Toda essa massa é de plástico (a cavidade é vazia):

$$V_{\text{pl}} = \frac{125}{1{,}35} \approx 92{,}6\ \text{cm}^3$$

Passo 3 — o volume da cavidade é o que sobra do cubo:

$$V_{\text{cav}} = 125 - 92{,}6 = 32{,}4\ \text{cm}^3$$

Passo 4 — o raio. A cavidade é uma esfera, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, com $\pi = 3{,}1$ (constante da prova):

$$r^3 = \frac{3 \cdot 32{,}4}{4 \cdot 3{,}1}$$

$$r^3 = \frac{97{,}2}{12{,}4} \approx 7{,}84$$

Que número multiplicado por ele mesmo três vezes dá cerca de 7,84? Como $2^3 = 8$, o raio é muito próximo de 2,0 cm.

Conferindo: com $r = 2{,}0$ cm, a cavidade tem $\frac{4}{3} \cdot 3{,}1 \cdot 8 \approx 33{,}1\ \text{cm}^3$; sobram $91{,}9\ \text{cm}^3$ de plástico, que pesam $91{,}9 \times 1{,}35 \approx 124\ \text{g}$, praticamente os 125 g de que precisávamos. E a esfera, com 4,0 cm de diâmetro, cabe dentro do cubo de 5,0 cm.

⚠️ A armadilha: parar em $r^3 \approx 7{,}84$ e esquecer de tirar a raiz cúbica, ou esquecer que a esfera é a cavidade, e não o plástico. Outro tropeço é achar que um cubo de plástico mais denso que a água “sempre afunda”: é justamente a cavidade vazia que baixa a densidade média até a da água.

A ideia em uma frase: um corpo fica parado no meio da água quando sua massa é igual à massa de água do mesmo volume; a cavidade é o que falta para isso.

Resposta: alternativa B (raio de cerca de 2,0 cm).