ITA 2023 — questão 3 de Física

Gabarito ETermodinâmica — compressão adiabática de um gás num recipiente acelerado1ª fase · Física

Enunciado da questão 3 de Física do ITA 2023 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Considere um recipiente, sobre uma plataforma, sujeito à pressão atmosférica $P_{atm}$ . Esse recipiente contém um volume inicial $V_i$ de um gás monoatômico ideal em equilíbrio e tem um êmbolo de seção transversal de área $A$ e de massa $m$ . Para monitorar a aceleração do sistema, a plataforma foi suspensa por um dinamômetro, como ilustrado na figura. Por causa de uma ação de uma força externa vertical, o êmbolo atinge uma nova posição de equilíbrio. Nessa posição a leitura do dinamômetro indica que a aceleração do sistema é de 1/10 de $g$ para cima.

Determine o módulo do deslocamento $\Delta x$ do êmbolo, com relação ao fundo do recipiente, considerando que a transformação do gás é isentrópica.

[Figura: um dinamômetro no alto, preso a dois cabos que descem até as pontas de uma plataforma horizontal. Sobre a plataforma, um recipiente com “gás”, fechado em cima por um êmbolo; uma seta para baixo sobre o êmbolo indica $P_{atm}$ . À esquerda, uma seta para cima com a indicação $g/10$ .]

A) $\Delta x = \dfrac{3V_i}{2A}\left(\dfrac{11mg}{50P_{atm}A + 55mg}\right)$ .

B) $\Delta x = \dfrac{V_i}{A}\left[1 - \left(\dfrac{AP_{atm} + mg}{AP_{atm} + 1{,}1mg}\right)^{\frac{5}{3}}\right]$ .

C) $\Delta x = \dfrac{3V_i}{A}\left(\dfrac{11mg}{50P_{atm}A + 55mg}\right)$ .

D) $\Delta x = \dfrac{V_i}{A}\left(\dfrac{0{,}1mg}{AP_{atm} + 1{,}1mg}\right)$ .

E) $\Delta x = \dfrac{V_i}{A}\left[1 - \left(\dfrac{AP_{atm} + mg}{AP_{atm} + 1{,}1mg}\right)^{\frac{3}{5}}\right]$ .

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2023, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto o êmbolo desce em relação ao fundo quando o conjunto passa a subir acelerado com $g/10$ .

Passo 1 — pressão inicial. Com o sistema em repouso, o êmbolo está em equilíbrio: o gás empurra para cima, o ar e o peso empurram para baixo.

$P_iA = P_{atm}A + mg$

Passo 2 — pressão final. Agora o êmbolo está parado em relação ao recipiente, mas acelera junto com ele, $a = g/10$ para cima. Pela segunda lei de Newton:

$P_fA - P_{atm}A - mg = m\,\frac{g}{10}$

$P_fA = P_{atm}A + 1{,}1\,mg$

É como se a gravidade tivesse ficado 10% maior: o êmbolo “pesa” mais e comprime o gás.

Passo 3 — a transformação isentrópica. Isentrópica quer dizer adiabática e reversível: vale $PV^{\gamma} = \text{constante}$ . Para gás monoatômico ideal, $\gamma = C_p/C_v = 5/3$ , e então:

$P_iV_i^{\gamma} = P_fV_f^{\gamma}$

$V_f = V_i\left(\frac{P_i}{P_f}\right)^{3/5}$

Passo 4 — o deslocamento. A área é constante, então $\Delta x = (V_i - V_f)/A$ :

$\Delta x = \frac{V_i}{A}\left[1 - \left(\frac{P_i}{P_f}\right)^{3/5}\right]$

com $\dfrac{P_i}{P_f} = \dfrac{AP_{atm} + mg}{AP_{atm} + 1{,}1mg}$ , que é exatamente a alternativa E.

Conferindo: se $m = 0$ , as duas pressões ficam iguais a $P_{atm}$ e $\Delta x = 0$ , como deve ser (sem êmbolo pesado, acelerar o sistema não comprime o gás).

Por que não as outras: a D é o resultado de uma compressão isotérmica ( $PV$ constante): $V_i(1 - P_i/P_f)/A$ . A B usa o expoente invertido: $(P_i/P_f)^{5/3}$ viria de $P^{\gamma}V = \text{constante}$ , que não é a adiabática. A e C não têm a forma de uma adiabática.

⚠️ A armadilha: escrever $V_f/V_i = (P_i/P_f)^{\gamma}$ em vez de $(P_i/P_f)^{1/\gamma}$ e marcar a B. De $P_iV_i^{\gamma} = P_fV_f^{\gamma}$ sai $V_f/V_i = (P_i/P_f)^{1/\gamma}$ , com expoente $3/5$ .

A ideia em uma frase: subir acelerado com g/10 equivale a uma gravidade 1,1g; a pressão do gás vai de P_atm + mg/A para P_atm + 1,1mg/A, e na adiabática o volume cai com expoente 1/γ = 3/5.

Resposta: alternativa E ( $\Delta x = \frac{V_i}{A}\left[1 - \left(\frac{AP_{atm}+mg}{AP_{atm}+1{,}1mg}\right)^{3/5}\right]$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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