ITA 2023 — questão 12 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: até que altitude o múon desce antes de decair, levando em conta a relatividade.

Passo 1 — o fator de Lorentz. Com $\beta = 0{,}9999$, use $1 - \beta^2 = (1 - \beta)(1 + \beta)$:

$$1 - \beta^2 = 0{,}0001 \cdot 1{,}9999 \approx 2\times10^{-4}$$

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{2\times10^{-4}}} \approx 70{,}7$$

Passo 2 — o tempo de vida medido na Terra. Os 2,2 μs são medidos no referencial do múon (tempo próprio). Para nós, o relógio dele anda devagar, e o tempo de vida fica:

$$\Delta t = \gamma\,\tau_0 \approx 70{,}7 \cdot 2{,}2\ \mu\text{s} \approx 156\ \mu\text{s}$$

Passo 3 — a distância percorrida:

$$d = v\,\Delta t \approx 3{,}0\times10^{8}\cdot1{,}56\times10^{-4}$$

$$d \approx 4{,}7\times10^{4}\ \text{m} \approx 47\ \text{km}$$

Passo 4 — a altitude mínima:

$$h \approx 100 - 46{,}7 \approx 53\ \text{km}$$

Conferindo pelo referencial do múon: para ele, o tempo de vida é 2,2 μs, mas a atmosfera que corre a seu encontro está contraída pelo fator $\gamma$. Ele “vê” passar $0{,}9999 \cdot 3{,}0\times10^{8}\cdot2{,}2\times10^{-6} \approx 0{,}66$ km de atmosfera contraída, que correspondem a $0{,}66 \cdot 70{,}7 \approx 47$ km medidos na Terra. Mesmo resultado.

⚠️ A armadilha: ignorar a relatividade e fazer $d = v\tau_0 \approx 0{,}66$ km: o múon só desceria até cerca de 99 km de altitude (alternativa E), e o 0,66 km aparece como isca na alternativa B.

A ideia em uma frase: o tempo de vida próprio do múon, visto da Terra, fica γ ≈ 71 vezes maior, e é isso que o deixa descer quase 47 km.

Resposta: alternativa D (cerca de 53 km).