ITA 2023 — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: julgar as quatro afirmações sobre os equilíbrios do disco e somar os números das verdadeiras.

Passo 1 — o comprimento da mola. Chame de $\psi$ o ângulo $\angle AOC$ entre OA e a posição C do ponto de prisão na borda. O ponto da parede fica a $L$ de O, do lado de A. Pela lei dos cossenos, o comprimento $d$ da mola é:

$$d^2 = L^2 + R^2 - 2LR\cos\psi$$

Ele vai de $d = L - R$ (em A, $\psi = 0$) até $d = L + R$ (em B, $\psi = 180^{\circ}$).

Passo 2 — a energia potencial. O disco gira num plano horizontal, então o peso não importa; a única energia potencial é a da mola:

$$U = \tfrac{1}{2}k\,(d - L)^2$$

Como $|d - L| \le R$, o maior valor possível é $U_{\text{máx}} = \tfrac{1}{2}kR^2$, e ele ocorre nos dois extremos: em A (mola comprimida de $R$) e em B (mola esticada de $R$). O menor valor, $U = 0$, ocorre onde a mola tem o comprimento natural, $d = L$:

$$\cos\psi = \frac{R}{2L}$$

Isso dá dois pontos, simétricos em relação ao eixo $x$.

Passo 3 — os equilíbrios. Equilíbrio é onde $U$ é máxima ou mínima. A e B são máximos (instáveis); os dois pontos com $\cos\psi = R/(2L)$ são mínimos (estáveis). São quatro equilíbrios.

1. Falsa. Há quatro pontos de equilíbrio, não dois; além de A e B, instáveis, existem dois estáveis.

2. Verdadeira. O disco parte de A, onde $U$ já é máxima. Qualquer energia cinética extra, por menor que seja, deixa a energia total acima de $\tfrac{1}{2}kR^2$, que é o maior valor de $U$ em toda a volta (B tem o mesmo valor de A). Sem dissipação, o disco nunca para: dá voltas para sempre.

4. Falsa. A massa e a constante elástica só mudam a rapidez do giro. O que decide se o disco passa por todos os pontos é comparar energia total com $U_{\text{máx}}$, e o disco já começa com $U = U_{\text{máx}}$.

8. Verdadeira. Como $R < L$, temos $R/(2L) < 1/2$, logo os equilíbrios estáveis têm $\cos\psi < 1/2$, ou seja, $\psi > 60^{\circ}$. Um ponto com $|\angle AOC| < 30^{\circ}$ nunca é estável.

Soma: $2 + 8 = 10$.

⚠️ A armadilha: achar que o disco, “empurrado de leve”, oscila em torno de um ponto estável sem dar a volta, como um pêndulo. Isso acontece se ele parte de um mínimo de energia; aqui ele parte de um máximo, e B é um máximo igual. Quem pensa assim marca 4 + 8 = 12, que nem existe, ou fica só com o 8 (alternativa D).

A ideia em uma frase: equilíbrios ficam nos máximos e mínimos da energia potencial; quem parte de um máximo absoluto com qualquer empurrão passa por todos os outros pontos.

Resposta: alternativa E (2 + 8 = 10).