ITA 2023 — questão 10 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a energia cinética da partícula, sabendo que ela não muda durante o movimento.

Passo 1 — quem realiza trabalho. A força magnética é sempre perpendicular à velocidade: nunca realiza trabalho. O peso realiza trabalho sempre que a partícula sobe ou desce. Para a energia cinética ficar constante o tempo todo, a velocidade vertical tem de ser zero o tempo todo:

$$v\cos\theta = 0 \;\Rightarrow\; \theta = \pm 90^{\circ}$$

A velocidade é horizontal, ao longo de $\pm\hat{j}$, perpendicular a $\vec{B}$.

Passo 2 — a vertical tem de continuar zero. Se a velocidade vertical não pode mudar, a força vertical resultante é nula: a força magnética, de módulo $qvB$ (velocidade perpendicular a $\vec{B}$), tem de apontar para cima e equilibrar o peso. O sinal de $\theta$ é escolhido conforme o sinal da carga para que isso aconteça (por exemplo, para carga positiva, $\vec{v} = -v\hat{j}$ dá $q\vec{v}\times\vec{B} = +qvB\hat{k}$).

$$qvB = mg \;\Rightarrow\; v = \frac{mg}{qB}$$

Com força resultante nula, a partícula anda em linha reta com velocidade constante, e a energia cinética fica de fato conservada.

Passo 3 — a energia cinética:

$$E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{mg}{qB}\right)^2$$

$$E_c = \frac{1}{2}\,\frac{m^3g^2}{q^2B^2}$$

Conferindo pelas unidades: $mg/(qB)$ tem unidade de N/(C·T) $=$ m/s, porque $F = qvB$. Então $\tfrac{1}{2}m(mg/qB)^2$ é massa vezes velocidade ao quadrado: energia.

⚠️ A armadilha: esquecer o $\tfrac{1}{2}$ e escrever $E_c = mv^2$, que dá a alternativa A.

A ideia em uma frase: energia cinética constante com gravidade exige movimento horizontal, e para ele continuar horizontal a força magnética qvB tem de equilibrar o peso.

Resposta: alternativa E ($E_c = \frac{1}{2}\frac{m^3g^2}{q^2B^2}$).