ITA 2019 — questão 6 de Física

Gabarito EEstática — barra apoiada numa quina lisa e presa por corda horizontal1ª fase · Física

Enunciado da questão 6 de Física do ITA 2019 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Uma barra rígida, homogênea, fina e de comprimento $l$ , é presa a uma corda horizontal sem massa e toca a quina de uma superfície horizontal livre de atrito, fazendo um ângulo θ como mostra a figura. Considerando a barra em equilíbrio, assinale a opção correta para o valor da razão $d/l$ , em que $d$ é a distância da quina ao centro de gravidade $(CG)$ da barra.

[Figura: a barra, de comprimento $l$ , sobe da esquerda para a direita fazendo ângulo θ com a horizontal. A ponta de cima está presa a uma corda horizontal que vai até uma parede vertical à direita. A barra se apoia na quina (canto esquerdo) de uma superfície horizontal que sai dessa parede; a quina fica entre o centro de gravidade $CG$ e a ponta de cima. A distância $d$ é medida ao longo da barra, da quina até o $CG$ .]

A) $\dfrac{\operatorname{tg}^2\theta}{2}$

B) $\dfrac{\cos^2\theta}{4}$

C) $\dfrac{\operatorname{sen}^2\theta}{4}$

D) $\dfrac{\cos^2\theta}{2}$

E) $\dfrac{\operatorname{sen}^2\theta}{2}$

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2019, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: onde a quina fica em relação ao centro de gravidade, para a barra ficar parada.

Passo 1 — as três forças. Na barra agem: o peso $P = mg$ , vertical, no $CG$ (no meio da barra); a tração $T$ , horizontal, na ponta de cima; e a força da quina, $N$ . Sem atrito, o apoio numa quina empurra a barra perpendicularmente à barra (é a barra que tem uma superfície definida ali, não o canto). Como a barra faz ângulo θ com a horizontal, $N$ faz ângulo θ com a vertical.

Passo 2 — equilíbrio na vertical. A tração é horizontal, então só $N$ segura o peso:

$N\cos\theta = mg \Rightarrow N = \frac{mg}{\cos\theta}$

(Na horizontal, $N\operatorname{sen}\theta = T$ , que só serve para achar a tração.)

Passo 3 — momentos em relação à ponta de cima. Escolhendo a ponta presa à corda como polo, a tração some da conta. O $CG$ está a $l/2$ da ponta, ao longo da barra; o braço do peso (vertical) é a distância horizontal $\frac{l}{2}\cos\theta$ . A quina está a $\frac{l}{2} - d$ da ponta, e como $N$ é perpendicular à barra, o braço é essa distância inteira:

$N\left(\frac{l}{2} - d\right) = mg\,\frac{l}{2}\cos\theta$

$\frac{mg}{\cos\theta}\left(\frac{l}{2} - d\right) = mg\,\frac{l}{2}\cos\theta$

$\frac{l}{2} - d = \frac{l}{2}\cos^2\theta$

$d = \frac{l}{2}(1 - \cos^2\theta) = \frac{l}{2}\operatorname{sen}^2\theta$

$\frac{d}{l} = \frac{\operatorname{sen}^2\theta}{2}$

Conferindo (caso-limite): se θ → 0 (barra quase horizontal), $d \to 0$ : a corda horizontal não consegue segurar nada na vertical, então o apoio tem de ficar bem embaixo do $CG$ . Faz sentido.

⚠️ A armadilha: tratar a força da quina como vertical, como se fosse um piso. Aí $N = mg$ e os momentos dão $d = 0$ (valor que nem está nas alternativas), e sobra a tração horizontal sem nada que a equilibre. Numa quina, a normal é perpendicular à barra.

A ideia em uma frase: apoio em quina lisa empurra perpendicularmente à barra; com o peso na vertical e a corda na horizontal, os momentos em torno da ponta presa resolvem tudo.

Resposta: alternativa E ( $d/l = \operatorname{sen}^2\theta/2$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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