ITA 2019 — questão 3 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto tempo o objeto leva para atravessar o planeta inteiro pelo túnel.

Passo 1 — a força dentro do planeta. A uma distância $x$ do centro, só a massa da esfera de raio $x$ atrai o objeto (a casca de fora, por ser esférica e homogênea, dá força resultante nula lá dentro). Como a densidade é uniforme, essa massa é proporcional ao volume:

$$M_{\text{int}} = M\,\frac{x^3}{R^3}$$

$$F = \frac{G\,M_{\text{int}}\,m}{x^2} = \frac{GMm}{R^3}\,x$$

Passo 2 — é um MHS. A força aponta sempre para o centro e é proporcional à distância $x$: é uma força restauradora do tipo $F = -Kx$, com $K = GMm/R^3$. Então o objeto faz um movimento harmônico simples em torno do centro, com amplitude $R$ e

$$\omega^2 = \frac{K}{m} = \frac{GM}{R^3}$$

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$

Passo 3 — de um polo ao outro é meio período. Solto do repouso num extremo ($x = R$), o objeto chega ao outro extremo ($x = -R$) em meia oscilação:

$$\Delta t = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$

Conferindo: um satélite em órbita circular rasante tem $v^2/R = GM/R^2$, ou seja, período $2\pi\sqrt{R^3/GM}$, o mesmo $T$. Faz sentido: o movimento do objeto no túnel é a "sombra" do satélite rasante projetada no eixo. Para a Terra, $\Delta t$ dá cerca de 42 minutos.

⚠️ A armadilha: responder o período inteiro, $2\pi\sqrt{R^3/GM}$ (alternativa D). Esse é o tempo de ida e volta; até o outro polo é só a metade.

A ideia em uma frase: dentro de um planeta homogêneo a gravidade cresce linearmente com a distância ao centro, e isso transforma a queda pelo túnel num MHS.

Resposta: alternativa B ($\pi\sqrt{R^3/GM}$).