ITA 2019 — questão 10 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o comprimento do caminho que a partícula percorre até a velocidade voltar a ser igual à inicial.

Passo 1 — decompor a velocidade. A componente paralela a $\vec{B}$, $v\cos\theta$, não sofre força (a força magnética é perpendicular a $\vec{B}$) e fica constante. A componente perpendicular, $v\operatorname{sen}\theta$, faz a partícula girar em círculo. A soma dos dois movimentos é uma hélice.

Passo 2 — quando a velocidade volta a ser a mesma. A componente paralela nunca muda; a perpendicular volta à direção inicial depois de uma volta completa. O período do giro é

$$T = \frac{2\pi m}{qB}$$

(ele não depende da velocidade: é o período de cíclotron).

Passo 3 — a distância percorrida. A força magnética não realiza trabalho, então o módulo da velocidade fica sempre igual a $v$. O caminho percorrido (o comprimento da hélice) num período é

$$s = v\,T = 2\pi\frac{mv}{qB}$$

Conferindo: o comprimento de uma volta da hélice também sai por "Pitágoras desenrolado": a volta do círculo mede $2\pi\frac{mv\operatorname{sen}\theta}{qB}$ e o avanço ao longo de $\vec{B}$ (o passo) mede $2\pi\frac{mv\cos\theta}{qB}$. A hipotenusa é $2\pi\frac{mv}{qB}\sqrt{\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta} = 2\pi\frac{mv}{qB}$.

⚠️ A armadilha: responder o passo da hélice, $2\pi\frac{mv}{qB}\cos\theta$ (alternativa B), que é o deslocamento ao longo de $\vec{B}$; ou o perímetro do círculo, $2\pi\frac{mv}{qB}\operatorname{sen}\theta$ (alternativa C). A pergunta é a distância percorrida, o comprimento do caminho, que é $v \cdot T$.

A ideia em uma frase: a força magnética não muda o módulo da velocidade; então o caminho percorrido numa volta é só a rapidez vezes o período de cíclotron.

Resposta: alternativa E ($2\pi mv/qB$).