ITA 2019 — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a razão entre os quadrados das velocidades angulares das duas partículas.

Passo 1 — a tração é a mesma nas duas pontas. A corda tem massa desprezível e a mesa é lisa (o orifício só muda a direção da corda), então a tração $T$ tem o mesmo valor nas duas partículas.

Passo 2 — a partícula suspensa na vertical. Ela gira num plano horizontal, então não sobe nem desce: a componente vertical da tração equilibra o peso. A mola é horizontal e não ajuda na vertical:

$$T\cos\theta = mg \Rightarrow T = \frac{mg}{\cos\theta}$$

Passo 3 — a partícula da mesa. Sobre a mesa lisa, a única força horizontal é a tração, que aponta para o orifício e faz o papel de resultante centrípeta:

$$T = m\,\omega_1^2\,r$$

$$\omega_1^2 = \frac{T}{mr} = \frac{g}{r\cos\theta}$$

Passo 4 — a partícula suspensa na horizontal. O trecho suspenso tem comprimento $l - r$, então o raio do círculo dela é $R = (l-r)\operatorname{sen}\theta$. Como a mola tem comprimento natural desprezível, ela está esticada exatamente de $R$ e puxa para o eixo com força $kR$. A tração também tem componente para o eixo, $T\operatorname{sen}\theta$. As duas juntas dão a resultante centrípeta:

$$T\operatorname{sen}\theta + kR = m\,\omega_2^2\,R$$

Dividindo tudo por $R = (l-r)\operatorname{sen}\theta$:

$$\frac{T}{l-r} + k = m\,\omega_2^2$$

$$\omega_2^2 = \frac{T + k(l-r)}{m(l-r)}$$

Passo 5 — a razão. Com $T = mg/\cos\theta$:

$$\omega_2^2 = \frac{mg + k(l-r)\cos\theta}{m(l-r)\cos\theta}$$

Dividindo por $\omega_1^2 = g/(r\cos\theta)$, isto é, multiplicando por $r\cos\theta/g$, o $\cos\theta$ do denominador cancela:

$$\left(\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)^2 = \frac{r[mg + k(l-r)\cos\theta]}{mg(l-r)}$$

Conferindo (caso-limite): sem mola ($k = 0$), a partícula de baixo vira um pêndulo cônico comum de comprimento $l - r$, com $\omega_2^2 = g/[(l-r)\cos\theta]$. A razão fica $r/(l-r)$, que é exatamente o que a (A) dá com $k = 0$.

⚠️ A armadilha: achar que a tração vale $mg$ (como se o trecho suspenso estivesse na vertical). Aí se chega a $r[mg + k(l-r)]/[mg(l-r)]$, uma expressão parecida com a (A), mas sem o $\cos\theta$, que não está nas alternativas. Com a corda inclinada, só a componente vertical da tração equilibra o peso.

A ideia em uma frase: a corda leva a mesma tração às duas pontas: em cima ela é toda centrípeta; embaixo, a parte vertical segura o peso e a horizontal se soma à mola.

Resposta: alternativa A ($(\omega_2/\omega_1)^2 = r[mg + k(l-r)\cos\theta]/[mg(l-r)]$).