UFU 2009-2 — questão 20 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: como o empuxo varia com a profundidade $z$ mergulhada, quando a densidade do líquido cresce com $z$.

Passo 1 — o empuxo é o peso do líquido deslocado. O princípio de Arquimedes vale mesmo com densidade variável: o empuxo é o peso do líquido que ocuparia o lugar da parte submersa. Com o cilindro de base $A$ mergulhado até $z$, uma fatia fina de espessura $\Delta z$ na profundidade $z^{\prime}$ desloca líquido de massa $\rho_0 z^{\prime} A\,\Delta z$.

Passo 2 — somando as fatias. A densidade cresce linearmente, de 0 na superfície até $\rho_0 z$ no fundo da sonda. A massa deslocada é o volume submerso vezes a densidade média, que é a média entre 0 e $\rho_0 z$:

$$\rho_{\text{média}} = \frac{0 + \rho_0 z}{2} = \frac{\rho_0 z}{2}$$

$$E = \rho_{\text{média}}\,(A z)\,g$$

$$E = \frac{\rho_0 g A}{2}\,z^2$$

Aqui $g$ é a gravidade do planeta, constante. O empuxo é proporcional a $z^2$: uma parábola que parte da origem com inclinação nula e vai ficando cada vez mais íngreme. É o gráfico A.

Conferindo pela pressão: o empuxo também é a força da pressão do líquido na base de baixo da sonda. A pressão cresce com a profundidade e, como a densidade também cresce, a pressão a uma profundidade $z$ é $p = \rho_0 g z^2/2$ (a área sob o gráfico $\rho g \times z$). Multiplicando pela área $A$, chega-se ao mesmo $E = \rho_0 g A z^2/2$.

⚠️ A armadilha: ver “densidade proporcional a $z$” e concluir que o empuxo é proporcional a $z$ (alternativa C). Mas, ao afundar mais, aumentam as duas coisas: o volume submerso e a densidade do líquido deslocado. Duas grandezas proporcionais a $z$ multiplicadas dão $z^2$.

A ideia em uma frase: empuxo é o peso do líquido deslocado; se o volume cresce com $z$ e a densidade também, o empuxo cresce com $z^2$.

Resposta: alternativa A (parábola: $E \propto z^2$).