UFU 2009-2 — questão 18 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: achar $n_B$ a partir do ângulo limite e, com ele, a concentração $x$.

Passo 1 — o ângulo limite. A reflexão total só acontece quando a luz vai do meio mais refringente (B) para o menos refringente (o ar), como na figura. No ângulo limite $L$, o raio refratado sairia rasante ($90^{\circ}$ com a normal). Pela lei de Snell:

$$n_B \operatorname{sen} L = n_A \operatorname{sen} 90^{\circ}$$

$$\operatorname{sen} L = \frac{n_A}{n_B}$$

Passo 2 — o índice do meio B. Com $L = 60^{\circ}$ e $\operatorname{sen} 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$n_B = \frac{1}{\operatorname{sen} 60^{\circ}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

$$n_B \approx \frac{2 \cdot 1{,}7}{3} \approx 1{,}13$$

Passo 3 — a concentração. Substituindo na relação linear:

$$\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

$$\frac{x}{2} \approx 1{,}13 - 0{,}33 = 0{,}80$$

$$x \approx 1{,}6$$

Conferindo: com $x = 1{,}6$, $n_B = 0{,}8 + 0{,}33 \approx 1{,}13$, e $\operatorname{sen} L = 1/1{,}13 \approx 0{,}88 \approx \frac{\sqrt{3}}{2}$. Bate. (Fazendo $2/1{,}7$ direto, sem racionalizar, sai $x \approx 1{,}7$: o mais próximo continua sendo 1,6.)

⚠️ A armadilha: usar o cosseno (ou trocar o ângulo pelo complementar): com $\operatorname{sen} L = 0{,}5$, sairia $n_B = 2$ e $x \approx 3{,}3$, que não está entre as alternativas. Outro deslize é inverter a razão e escrever $n_B = \operatorname{sen} L$, que daria índice menor que 1 e $x$ negativo.

A ideia em uma frase: no ângulo limite, o seno é a razão entre o índice menor e o maior; com o índice na mão, é só resolver a equação de primeiro grau.

Resposta: alternativa D (x ≈ 1,6).