UFU 2009-2 — questão 15 de Física

Gabarito AEletrostática — potencial elétrico de um dipolo (molécula de água)Processo Seletivo 2009-2 · 1ª fase · Prova Objetiva · Tipo 1

Enunciado da questão 15 de Física do UFU 2009-2 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Devido à diferença de eletronegatividade entre o oxigênio e o hidrogênio, a molécula de água (H₂O) apresenta um dipolo elétrico, que consiste no oxigênio com uma carga elétrica parcialmente negativa ( $-q$ ) e nos hidrogênios com cargas parcialmente positivas ( $+q$ ), separados espacialmente por uma distância $d$ , como representado esquematicamente na figura a seguir.

[Figura: à esquerda, a molécula de água desenhada em “V”, com O no vértice de cima e um H em cada ponta de baixo. Uma linha tracejada liga o O a uma carga $-q$ (bolinha preta) num eixo vertical, à direita. Nesse eixo, a carga $+q$ (bolinha preta) fica abaixo da $-q$ ; uma chave indica que as duas estão separadas pela distância $d$ . Um eixo horizontal (com seta para a direita) corta o eixo vertical no ponto marcado “origem”, no meio entre as duas cargas. Acima de $-q$ , no eixo vertical (com seta para cima), está o ponto P (bolinha vazia); uma chave indica a distância $y$ da origem até P.]

Considere um ponto $P$ distante $y$ da origem, conforme mostrado na figura. Assinale a alternativa que apresenta o potencial eletrostático em $P$ , devido ao dipolo da água.

A) $K\left[\dfrac{-qd}{y^2\left(1 - \dfrac{d^2}{4y^2}\right)}\right]$

B) $Kqd\left[\dfrac{1}{\left(y^2 + \dfrac{d^2}{4}\right)} - \dfrac{1}{\left(y^2 - \dfrac{d^2}{4}\right)}\right]$

C) $-Kqd\left[\dfrac{1}{\left(y^2 + \dfrac{d^2}{4}\right)} - \dfrac{1}{\left(y^2 - \dfrac{d^2}{4}\right)}\right]$

D) $K\left[\dfrac{+qd}{y^2\left(1 - \dfrac{d^2}{4y^2}\right)}\right]$

(Enunciado e figura: Processo Seletivo UFU 2009-2, 1ª fase — Universidade Federal de Uberlândia.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Federal de Uberlândia (UFU) e à sua Diretoria de Processos Seletivos (DIRPS/UFU).

Resolução comentada

O que a questão pede: o potencial no ponto $P$ , que está no eixo do dipolo, do lado da carga negativa.

Passo 1 — as distâncias. A origem fica no meio das cargas, então cada uma está a $d/2$ dela: $-q$ acima, $+q$ abaixo. Como $P$ está acima, a uma distância $y$ da origem:

$r_{-} = y - \frac{d}{2} \qquad r_{+} = y + \frac{d}{2}$

Passo 2 — o potencial é escalar: some com sinal. O potencial de uma carga pontual é $V = Kq/r$ , e o de várias cargas é a soma algébrica (sem vetores):

$V_P = \frac{K(-q)}{y - \frac{d}{2}} + \frac{Kq}{y + \frac{d}{2}}$

Passo 3 — denominador comum. O produto dos denominadores é uma diferença de quadrados:

$\left(y - \tfrac{d}{2}\right)\left(y + \tfrac{d}{2}\right) = y^2 - \tfrac{d^2}{4}$

E o numerador fica:

$Kq\left[-\left(y + \tfrac{d}{2}\right) + \left(y - \tfrac{d}{2}\right)\right]$

$= -Kqd$

Logo:

$V_P = \frac{-Kqd}{y^2 - \frac{d^2}{4}}$

Passo 4 — no formato das alternativas. Pondo $y^2$ em evidência no denominador:

$V_P = K\left[\frac{-qd}{y^2\left(1 - \frac{d^2}{4y^2}\right)}\right]$

Conferindo: o ponto $P$ está mais perto da carga negativa, então o potencial tem que ser negativo, e é. Longe do dipolo ( $y \gg d$ ), fica $V_P \approx -Kqd/y^2$ , o potencial típico de dipolo, que cai com $1/y^2$ .

Por que não as outras: D tem o sinal trocado (seria o caso de $P$ do lado da carga positiva). B e C usam $y^2 \pm d^2/4$ nos denominadores, mas as distâncias de $P$ às cargas são $y \pm d/2$ , sem somas de quadrados. Além disso, fazendo a conta, o colchete de B e C vale cerca de $-d^2/(2y^4)$ para $y \gg d$ : o potencial cairia com $1/y^4$ , e não com $1/y^2$ , como deve cair o de um dipolo.

⚠️ A armadilha: trocar qual carga está perto de $P$ e chegar ao sinal positivo da alternativa D. Olhe a figura: $-q$ está entre a origem e $P$ .

A ideia em uma frase: potencial é escalar: some $Kq/r$ de cada carga com o sinal dela; do lado da carga negativa, o potencial do dipolo é negativo.

Resposta: alternativa A ( $V_P = -\frac{Kqd}{y^2 - d^2/4}$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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