UEPG 2023 (Vocacionada) — questão 34 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: julgar cinco afirmações de gravitação e somar as corretas.

(01) Verdadeira. É a lei dos períodos: $T^2 = k\,R^3$, com R o raio médio da órbita (o semieixo maior da elipse).

(02) Verdadeira, pelo gabarito oficial. A área varrida em um quarto de volta é um quarto da área do círculo, e o tempo vai para horas:

$$\Delta t = 48 \cdot 24 = 1152\ \text{h}$$

Com o valor real de π (≈ 3,14):

$$A = \frac{3{,}14 \cdot 8000^2}{4}$$

$$A \approx 5{,}02 \times 10^{7}\ \text{km}^2$$

$$v_A \approx \frac{5{,}02 \times 10^{7}}{1152}$$

$$v_A \approx 43\,600\ \text{km}^2\text{/h}$$

Acima de 42 000 km²/h, como diz a afirmação.

(04) Falsa. Os nomes estão trocados: Ptolomeu defendeu o modelo geocêntrico; Copérnico propôs o heliocêntrico.

(08) Verdadeira. Na superfície, $g = GM/R^2$. Com o triplo da massa e um terço do raio:

$$g_A = \frac{G\,(3M_B)}{(R_B/3)^2} = 3 \cdot 9\,\frac{G M_B}{R_B^2}$$

$$g_A = 27\,g_B$$

(16) Verdadeira. Essa é a ideia da velocidade de escape: a menor velocidade de lançamento que leva o corpo para tão longe (a rigor, ao “infinito”) que a atração da Terra deixa de importar, sem que ele volte.

Atenção: com o π = 3 que o próprio enunciado manda usar, a área fica $4{,}8 \times 10^{7}$ km² e a velocidade areolar dá $4{,}8 \times 10^{7}/1152 \approx 41\,667$ km²/h, um pouco menor que 42 000; por esse caminho a (02) seria falsa e a soma seria 25. O gabarito oficial da UEPG é 27, que conta a (02) como verdadeira, e esse é o resultado que se obtém com o valor real de π (cerca de 43 600 km²/h). A diferença entre 41 667 e 42 000 é menor que 1%, e o arredondamento de π decide a afirmação.

⚠️ A armadilha: a (02), esquecer de passar o tempo para horas. Em dias, a conta dá cerca de $10^6$ km² por dia, um número que não pode ser comparado diretamente com 42 000 km²/h.

A ideia em uma frase: a gravidade na superfície vai com M/R², e a terceira lei de Kepler liga o quadrado do período ao cubo do raio.

Resposta: soma 27 (01 + 02 + 08 + 16).