UEM 2013 (Verão, Conhecimentos Específicos) — questão 13 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: extrair da equação da órbita as distâncias extremas e julgar as afirmações.

Passo 1 — afélio e periélio. O $\cos\phi$ vai de −1 a 1. A distância é máxima quando o denominador é mínimo ($\phi = 0$, a direção do afélio) e mínima no lado oposto ($\phi = 180^{\circ}$):

$$r_{\text{máx}} = \frac{9}{2 - 1} = 9 \times 10^{11}\ \text{m}$$

$$r_{\text{mín}} = \frac{9}{2 + 1} = 3 \times 10^{11}\ \text{m}$$

(01) Verdadeira. $9 \times 10^{11}$ m, no afélio.

(02) Falsa. O eixo maior é a soma das distâncias extremas:

$$a = \frac{9 + 3}{2} \times 10^{11}$$

$$a = 6 \times 10^{11}\ \text{m}$$

(04) Verdadeira.

$$e = \frac{r_{\text{máx}} - r_{\text{mín}}}{r_{\text{máx}} + r_{\text{mín}}}$$

$$e = \frac{9 - 3}{9 + 3} = \frac{6}{12} = 0{,}5$$

(conferindo com a forma polar da elipse, $r = \frac{a(1-e^2)}{1 - e\cos\phi}$: dividindo numerador e denominador de $\frac{9}{2 - \cos\phi}$ por 2, aparece $e = 1/2$ e $a(1 - e^2) = 4{,}5$, logo $a = 6$.)

(08) Verdadeira. Pela lei das áreas, $r_p\,v_p = r_a\,v_a$:

$$\frac{v_p}{v_a} = \frac{r_a}{r_p} = \frac{9}{3} = 3 > 1$$

(16) Falsa. Pela terceira lei de Kepler, quanto maior o semieixo maior, maior o período. U tem $a = 6 \times 10^{11}$ m, quatro vezes o da Terra:

$$T_U = T_T \cdot 4^{3/2} = 8\ \text{anos}$$

⚠️ A armadilha: na (02), tomar a distância máxima ou a média “de olho” como semieixo. O eixo maior é afélio + periélio; o semieixo é a metade disso.

A ideia em uma frase: afélio e periélio saem dos extremos do cosseno; o semieixo é a média deles, e ele decide o período (T² ∝ a³).

Resposta: soma 13 (01 + 04 + 08).