OBF 2025 (1ª fase, Nível III) — questão 19 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a razão entre as densidades de carga nas superfícies das duas esferas depois que elas são ligadas por um fio.

Passo 1 — equilíbrio eletrostático. Ligadas por um fio condutor, as esferas trocam carga até ficarem no mesmo potencial (senão as cargas continuariam se movendo). Como estão bem afastadas, cada uma tem o potencial de uma esfera isolada:

$$\frac{k\,q_1}{R} = \frac{k\,q_2}{3R}$$

$$q_2 = 3\,q_1$$

A esfera maior fica com mais carga (e, como a carga total se conserva, $q_1 = q/4$ e $q_2 = 3q/4$).

Passo 2 — densidades superficiais. A carga de um condutor fica na superfície, e a densidade é carga dividida pela área $4\pi r^2$:

$$\sigma_1 = \frac{q_1}{4\pi R^2}$$

$$\sigma_2 = \frac{3q_1}{4\pi (3R)^2} = \frac{q_1}{12\pi R^2}$$

$$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{12}{4} = 3$$

Atalho: como $q \propto r$ (mesmo potencial) e a área $\propto r^2$, a densidade fica $\sigma \propto 1/r$. A esfera menor, de raio três vezes menor, tem densidade três vezes maior. É o “poder das pontas”: onde a curvatura é maior, a carga se concentra mais.

⚠️ A armadilha: achar que as cargas se dividem igualmente, $q_1 = q_2$. Aí a razão seria só a das áreas, $(3R)^2/R^2 = 9$, a alternativa E. No equilíbrio o que se iguala é o potencial, não a carga.

A ideia em uma frase: condutores ligados ficam no mesmo potencial; a carga é proporcional ao raio e a densidade ao inverso do raio.

Resposta: alternativa D ($\sigma_1/\sigma_2 = 3$).