ITA 2026 — questão 17 de Física

Gabarito AOscilações — pêndulo simples e sistema massa–mola sincronizados1ª fase · Física

Enunciado da questão 17 de Física do ITA 2026 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Considere um pêndulo simples, com um fio ideal de comprimento $\ell$ sob ação da gravidade de aceleração $g$ , e um sistema massa–mola na horizontal, com uma mola de comprimento natural $x_0$ e uma massa que desliza sobre uma superfície lisa, conforme a figura. Ambos os corpos, o do pêndulo e o do sistema massa–mola, possuem a mesma massa. No instante inicial, o pêndulo é solto do repouso a partir de um pequeno ângulo $\theta$ com a vertical, enquanto a massa do sistema massa-mola é solta também do repouso a partir de uma posição $x_1$ , em que a mola se encontra comprimida. As duas massas colidem quando a mola atinge seu comprimento natural e quando o pêndulo está na vertical. Nesse instante, elas possuem a mesma velocidade. Assinale a alternativa que corresponde a relação entre o ângulo $\theta$ , de lançamento do pêndulo, e os outros parâmetros físicos relevantes.

[Figura em duas partes. À esquerda (instante inicial): uma parede à esquerda com uma mola horizontal comprimida presa a uma bola sobre o piso; a cota $x_1$ vai da parede até a bola. Mais à direita, um pêndulo preso ao teto, de fio $\ell$ , afastado de um ângulo $\theta$ da vertical tracejada, com a bola para a direita. À direita (instante da colisão): a mola esticada até o comprimento natural, cota $x_0$ da parede até a bola, e o pêndulo vertical, de fio $\ell$ , com sua bola encostada na bola da mola.]

A) $\cos\theta = 1 - \dfrac{(x_1 - x_0)^2}{2\ell^2}$ .

B) $\sin\theta = 1 - \dfrac{(x_1 - x_0)^2}{2\ell^2}$ .

C) $\cos\theta = 1 - \dfrac{(x_1 - x_0)^2}{\ell^2}$ .

D) $\sin\theta = 1 - \dfrac{2\ell^2}{(x_1 - x_0)^2}$ .

E) $\cos\theta = 1 - \dfrac{\ell^2}{(x_1 - x_0)^2}$ .

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2026, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: relacionar o ângulo inicial do pêndulo com a compressão da mola, $x_0 - x_1$ , e com $\ell$ . Repare que as alternativas não têm $k$ , $m$ nem $g$ : alguma informação do enunciado tem de eliminar essas grandezas.

Passo 1 — a informação escondida: os tempos são iguais. Os dois corpos partem do repouso no mesmo instante e chegam juntos à posição de equilíbrio (mola no comprimento natural, pêndulo na vertical). Do repouso até o equilíbrio, qualquer oscilador harmônico gasta um quarto do período. Como o ângulo é pequeno, o pêndulo é um oscilador harmônico. Então os períodos são iguais:

$2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \;\Rightarrow\; \frac{k}{m} = \frac{g}{\ell}$

Passo 2 — a velocidade do bloco da mola. Superfície lisa: a energia elástica vira cinética. A deformação inicial é $x_0 - x_1$ :

$\frac{k\,(x_1 - x_0)^2}{2} = \frac{m v^2}{2}$

$v^2 = \frac{k}{m}\,(x_1 - x_0)^2$

$v^2 = \frac{g}{\ell}\,(x_1 - x_0)^2$

Passo 3 — a velocidade do pêndulo. A bola desce a altura $\ell - \ell\cos\theta$ até a vertical:

$v^2 = 2g\ell\,(1 - \cos\theta)$

Passo 4 — mesma velocidade. Igualando:

$2g\ell\,(1 - \cos\theta) = \frac{g}{\ell}\,(x_1 - x_0)^2$

$\cos\theta = 1 - \frac{(x_1 - x_0)^2}{2\ell^2}$

Conferindo por outro caminho: para ângulo pequeno, a bola do pêndulo faz um MHS de amplitude $\ell\theta$ (o arco), e o bloco, um MHS de amplitude $x_0 - x_1$ . Com a mesma frequência angular $\omega$ , as velocidades máximas ( $\omega\cdot$ amplitude) só são iguais se as amplitudes forem iguais: $\ell\theta = x_0 - x_1$ . Usando $1 - \cos\theta \approx \frac{\theta^2}{2}$ , vem $1 - \cos\theta \approx \frac{(x_1 - x_0)^2}{2\ell^2}$ . Bate.

⚠️ A armadilha: esquecer o fator 2 na energia do pêndulo, escrevendo $v^2 = g\ell(1 - \cos\theta)$ . A conta termina em $\cos\theta = 1 - \frac{(x_1 - x_0)^2}{\ell^2}$ , a alternativa C. Lembre: $mgh = \frac{mv^2}{2}$ dá $v^2 = 2gh$ .

A ideia em uma frase: saírem juntos do repouso e chegarem juntos ao equilíbrio significa períodos iguais, o que troca k/m por g/ℓ.

Resposta: alternativa A ( $\cos\theta = 1 - \frac{(x_1 - x_0)^2}{2\ell^2}$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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