ITA 2026 — questão 16 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o período de rotação do conjunto, levando em conta a atração da estrela e também a dos outros dois planetas.

Passo 1 — o raio da órbita. A estrela fica no centro do triângulo equilátero. A distância do centro a um vértice é dois terços da altura $\frac{a\sqrt{3}}{2}$:

$$r = \frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Passo 2 — a força resultante num planeta. A estrela puxa o planeta para o centro com:

$$F_M = \frac{GMm}{r^2} = \frac{3GMm}{a^2}$$

Cada um dos outros dois planetas puxa com $\frac{Gm^2}{a^2}$, ao longo de um lado do triângulo. O lado faz 30° com a linha que liga o vértice ao centro (essa linha é a bissetriz do ângulo de 60°). As componentes perpendiculares a essa linha se cancelam, e as componentes para o centro se somam:

$$F_m = 2\,\frac{Gm^2}{a^2}\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}\,Gm^2}{a^2}$$

Passo 3 — a resultante é a força centrípeta. Na órbita circular, $F = m\omega^2 r$:

$$m\,\omega^2\,\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3GMm + \sqrt{3}\,Gm^2}{a^2}$$

$$\omega^2 = \frac{\sqrt{3}\,G\,(3M + \sqrt{3}\,m)}{a^3}$$

$$\omega^2 = \frac{3G\,(\sqrt{3}\,M + m)}{a^3}$$

Passo 4 — o período, $T = 2\pi/\omega$:

$$T = \frac{2\pi\,a^{3/2}}{\sqrt{3G(\sqrt{3}\,M + m)}}$$

Conferindo (caso-limite): se os planetas fossem leves ($m \to 0$), deveria sobrar a 3ª lei de Kepler para uma órbita de raio $r = a/\sqrt{3}$, isto é, $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} = \frac{4\pi^2 a^3}{3\sqrt{3}\,GM}$. A alternativa C com $m = 0$ dá exatamente $T^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{3\sqrt{3}\,GM}$. A, B, D e E não passam nesse teste.

⚠️ A armadilha: usar o lado $a$ (ou metade dele) como raio da órbita, ou somar as atrações dos dois planetas sem projetar na direção do centro (esquecendo o $\cos 30^\circ$). Nos dois casos a expressão não bate com nenhuma alternativa, e o aluno acaba chutando.

A ideia em uma frase: a força centrípeta de cada planeta é a atração da estrela mais a soma das componentes radiais das atrações dos outros dois.

Resposta: alternativa C ($T = \frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{3G(\sqrt{3}M + m)}}$).