ITA 2025 — questão 21 de Física

Gabarito AEletrostática — capacitor com cubo flutuando em óleo e água1ª fase · Física

Enunciado da questão 21 de Física do ITA 2025 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Considere um tanque cúbico metálico de lado $L + a$ ( $L \gg a$ ), aberto no topo, preenchido com água e óleo. O tanque contém, no seu interior, um cubo metálico de lado $L$ , com 5 de seus lados totalmente submersos e o outro emerso na superfície, centralizado com a face aberta do tanque. Uma diferença de potencial de $V$ é estabelecida entre o cubo e o tanque, de forma que o sistema atue como um capacitor. A vista frontal do sistema encontra-se ilustrada na figura ao lado. Sabe-se que o óleo possui uma densidade de $d_o = 0{,}90\ \text{g/cm}^3$ e constante dielétrica $\kappa_o$ , que a água tem uma densidade igual a $d_a = 1{,}0\ \text{g/cm}^3$ e constante dielétrica $\kappa_a$ e que a densidade do cubo é $d_c = 0{,}92\ \text{g/cm}^3$ .

[Figura: vista frontal do tanque, de largura $L + a$ , com o cubo escuro de lado $L$ centralizado dentro dele, deixando uma folga igual de cada lado e uma folga no fundo. A face de cima do cubo está no mesmo nível da borda do tanque e da superfície do líquido. A camada de cima é de óleo e a de baixo é de água (indicadas por chaves à direita); a fronteira óleo–água corta o cubo. Uma bateria de tensão $V$ está ligada entre o topo do cubo e a parede do tanque.]

Desconsiderando efeitos de borda, assinale a alternativa que fornece a capacitância do sistema.

A) $\dfrac{\varepsilon_0L^2}{a}(6{,}4\kappa_o + 2{,}6\kappa_a)$

B) $\dfrac{\varepsilon_0L^2}{a}(6{,}4\kappa_o + 1{,}6\kappa_a)$

C) $\dfrac{\varepsilon_0L^2}{a}(3{,}2\kappa_o + 0{,}8\kappa_a)$

D) $\dfrac{\varepsilon_0L^2}{a}(3{,}2\kappa_o + 1{,}8\kappa_a)$

E) $\dfrac{\varepsilon_0L^2}{a}(1{,}6\kappa_o + 6{,}4\kappa_a)$

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2025, 1ª fase — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a capacitância entre o cubo e o tanque, que estão separados por camadas finas de óleo e de água.

Passo 1 — quanto do cubo está em cada líquido. O cubo flutua com a face de cima na superfície do óleo. Seja $f$ a fração da altura dele que está no óleo; o resto, $1 - f$ , está na água. No equilíbrio, o peso é igual ao empuxo dos dois líquidos (a área da base cancela):

$d_c\,L = d_o\,fL + d_a(1 - f)L$

$0{,}92 = 0{,}90f + 1{,}0(1 - f)$

$0{,}1f = 0{,}08 \quad\Rightarrow\quad f = 0{,}8$

Cada face lateral tem 80% da área no óleo e 20% na água; o fundo do cubo está todo na água.

Passo 2 — as folgas. O tanque tem lado $L + a$ e o cubo, $L$ , centralizado: sobra $a/2$ de cada lado. O topo do cubo está na altura da borda do tanque, então a folga no fundo é $(L + a) - L = a$ .

Passo 3 — o sistema é uma soma de capacitores planos em paralelo. Como $L \gg a$ , cada face do cubo e a parede em frente formam um capacitor de placas paralelas, $C = \kappa\varepsilon_0 S/d$ . Todos estão entre o mesmo par de condutores (cubo e tanque), sob a mesma tensão: estão em paralelo e as capacitâncias se somam. A face de cima não tem parede em frente e não conta.

Uma face lateral (parte no óleo + parte na água, folga $a/2$ ):

$C_{\text{lat}} = \frac{\varepsilon_0(\kappa_o\,0{,}8L^2 + \kappa_a\,0{,}2L^2)}{a/2}$

$C_{\text{lat}} = \frac{\varepsilon_0L^2}{a}(1{,}6\kappa_o + 0{,}4\kappa_a)$

O fundo (todo na água, folga $a$ ):

$C_{\text{fundo}} = \frac{\varepsilon_0L^2}{a}\,\kappa_a$

Passo 4 — somar as quatro laterais e o fundo:

$C = 4C_{\text{lat}} + C_{\text{fundo}}$

$C = \frac{\varepsilon_0L^2}{a}(6{,}4\kappa_o + 1{,}6\kappa_a + \kappa_a)$

$C = \frac{\varepsilon_0L^2}{a}(6{,}4\kappa_o + 2{,}6\kappa_a)$

Conferindo: se os dois líquidos fossem iguais ( $\kappa_o = \kappa_a = \kappa$ ), daria $9\kappa\varepsilon_0L^2/a$ : quatro laterais com folga $a/2$ valem $4 \times 2 = 8$ , mais 1 do fundo. Bate. (A questão trata a água como um dielétrico ideal, sem conduzir corrente.)

⚠️ A armadilha: esquecer o fundo do cubo, que também é um capacitor, e marcar $6{,}4\kappa_o + 1{,}6\kappa_a$ (alternativa B). Outro erro comum é tomar a folga lateral como $a$ , e não $a/2$ : com o fundo, isso dá $3{,}2\kappa_o + 1{,}8\kappa_a$ (alternativa D); sem o fundo, $3{,}2\kappa_o + 0{,}8\kappa_a$ (alternativa C).

A ideia em uma frase: a flutuação diz quanto de cada face está em cada líquido; cada pedaço de face é um capacitor plano, e todos estão em paralelo.

Resposta: alternativa A ( $\frac{\varepsilon_0L^2}{a}(6{,}4\kappa_o + 2{,}6\kappa_a)$ ).

Vídeo em breve

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