ITA 2025 — questão 15 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o raio da órbita do satélite, a partir do tempo entre a fase cheia e a nova.

Passo 1 — o período. Da cheia para a nova, o satélite dá meia volta em torno do planeta (na cheia ele está do lado oposto ao Sol; na nova, entre o planeta e o Sol). O ciclo completo de fases dura o dobro:

$$T = 2 \times 58 = 116\ \text{dias}$$

$$T = 116 \times 86\,400\ \text{s} \approx 1{,}0\times10^{7}\ \text{s}$$

Um detalhe: o ciclo de fases é medido em relação ao Sol, e o planeta também anda em torno da sua estrela; por isso o período orbital verdadeiro é um pouco menor (na Lua: 27,3 dias contra 29,5 dias do ciclo de fases). Como não sabemos nada da órbita do planeta e a questão pede uma estimativa, usamos 116 dias.

Passo 2 — a gravidade faz o papel de força centrípeta. Como a massa do planeta é muito maior que a do satélite, o planeta fica praticamente parado e o satélite gira em torno dele:

$$\frac{GMm}{r^2} = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$$

$$r^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2}$$

Passo 3 — a conta, com $M = M_{\text{Terra}} = 6{,}0\times10^{24}$ kg:

$$r^3 = \frac{6{,}7\times10^{-11}\cdot 6{,}0\times10^{24}\cdot 10^{14}}{39{,}5}$$

$$r^3 \approx 1{,}0\times10^{27}\ \text{m}^3$$

$$r \approx 1\times10^{9}\ \text{m}$$

Conferindo pela Lua: a Terra tem a mesma massa e a Lua, com ciclo de fases de 29,5 dias, está a $3{,}8\times10^{8}$ m. Pela 3ª lei de Kepler, $r \propto T^{2/3}$:

$$r \approx 3{,}8\times10^{8}\cdot\left(\frac{116}{29{,}5}\right)^{2/3}$$

$$r \approx 3{,}8\times10^{8}\cdot 2{,}5 \approx 9{,}5\times10^{8}\ \text{m}$$

Dá a mesma ordem, $\approx 1\times10^{9}$ m.

⚠️ A armadilha: usar 58 dias como período. Como $r \propto T^{2/3}$, o raio sai $2^{2/3} \approx 1{,}6$ vez menor, cerca de $6\times10^{8}$ m, o que empurra para a alternativa A. Cheia → nova é só meio ciclo.

A ideia em uma frase: da lua cheia à nova passa meio período; com o período e a massa do planeta, a 3ª lei de Kepler dá o raio da órbita.

Resposta: alternativa B ($1\times10^{9}$ m).