Insper 2016 (Engenharia) — questão 68 de Física

Gabarito BCinemática — distância como área sob o gráfico v × t (funções inversas)Vestibular Engenharia · 1º semestre · Prova Modelo A

Enunciado da questão 68 de Física do Insper 2016 (Engenharia) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

A distância percorrida, em certo intervalo de tempo, por uma partícula que se desloca sobre uma reta, sempre no mesmo sentido, pode ser calculada a partir do gráfico da velocidade dessa partícula em função do tempo. Considere, por exemplo, duas partículas $P$ e $Q$ cujas velocidades em metros por segundo, em função do tempo $t$ , em segundos, sejam dadas, respectivamente, por

$v_P = 3^t - 1 \quad \text{e} \quad v_Q = \log_3(t+1)$

Nesse caso,

• a distância percorrida pela partícula $P$ no intervalo de 0 a 1 segundo, em metros, é numericamente igual à área da região identificada por $d_P$ no primeiro gráfico;

• a distância percorrida pela partícula $Q$ no intervalo de 0 a 2 segundos, em metros, é numericamente igual à área da região identificada por $d_Q$ no segundo gráfico.

[Gráficos: à esquerda, $v_P$ × t, com marcas 0, 1 e 2 nos dois eixos; uma curva vermelha crescente e côncava para cima sai da origem e passa por (1, 2); a região sombreada $d_P$ fica entre a curva, o eixo t e a reta vertical t = 1. À direita, $v_Q$ × t, com as mesmas marcas; uma curva verde crescente e côncava para baixo sai da origem e passa por (2, 1); a região sombreada $d_Q$ fica entre a curva, o eixo t e a reta vertical t = 2.]

Se a partícula $P$ percorreu aproximadamente 0,8 metro no intervalo de 0 a 1 segundo, então a distância percorrida pela partícula $Q$ no intervalo de 0 a 2 segundos, em metros, foi de aproximadamente

(A) 0,80

(B) 1,20

(D) 1,50

(E) 1,60

(Enunciado e figura: Vestibular Insper 2016 (Engenharia) — Insper.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Insper Instituto de Ensino e Pesquisa.

Resolução comentada

O que a questão pede: a área $d_Q$ sob o gráfico de $v_Q$ entre 0 e 2 s, sabendo que a área $d_P$ vale cerca de 0,8.

Passo 1 — as duas funções são inversas. Isolando t em $v = 3^t - 1$ :

$3^t = v + 1 \;\Rightarrow\; t = \log_3(v+1)$

Essa é a mesma lei de $v_Q$ . Então os gráficos de $v_P$ e $v_Q$ são simétricos em relação à reta bissetriz (a reta “v = t”): o ponto (1, 2) da curva de P corresponde ao ponto (2, 1) da curva de Q.

Passo 2 — para onde vai a região $d_P$ . Refletida na bissetriz, a região $d_P$ (entre a curva de P e o eixo horizontal, de t = 0 a t = 1) vira, no gráfico de Q, a região entre a curva de Q e o eixo vertical, de v = 0 a v = 1. Reflexão não muda área: essa região também vale cerca de 0,8.

Passo 3 — completar o retângulo. No gráfico de Q, o retângulo de 0 a 2 na horizontal e de 0 a 1 na vertical tem área 2 × 1 = 2. A curva de Q o divide em duas partes: $d_Q$ (abaixo da curva) e a região refletida de $d_P$ (acima da curva). Logo:

$d_Q + d_P = 2 \times 1 = 2$

$d_Q \approx 2 - 0{,}8 = 1{,}2\ \text{m}$

Conferindo: pelo gráfico, a curva de Q fica sempre acima da reta que liga (0, 0) a (2, 1), cuja área embaixo é 1. Então $d_Q$ tem de passar de 1 e ficar abaixo de 2, o que bate com 1,2.

⚠️ A armadilha: achar que, por as funções serem inversas, as áreas são iguais e marcar 0,80 (alternativa A); ou dobrar a área porque o intervalo de Q é o dobro e marcar 1,60 (alternativa E). A simetria troca os eixos: a área de P vira a área entre a curva de Q e o eixo vertical, que é o complemento de $d_Q$ no retângulo.

A ideia em uma frase: a área sob v × t é a distância; como as curvas são inversas, a área de P mais a de Q completa o retângulo 2 × 1.

Resposta: alternativa B (1,20 m).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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Insper 2016 (Engenharia) — questão 68 de Física

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