FMABC 2018 — questão 48 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto a mola está esticada (a distensão x) para segurar a massa em movimento circular de raio 30 cm a 50 rotações por minuto.

Passo 1 — quem faz a força centrípeta. A superfície é horizontal e sem atrito: o peso e a normal se cancelam, e a única força horizontal sobre a massa é a da mola, que puxa para o centro c. Ela é a resultante centrípeta:

$$k\,x = m\,\omega^2\,R$$

Passo 2 — as unidades. m = 2.700 g = 2,7 kg; R = 30 cm = 0,3 m. A frequência é 50 voltas por minuto, ou seja, 50/60 = 5/6 volta por segundo. A velocidade angular é

$$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot \frac{5}{6} = \frac{5\pi}{3}\ \text{rad/s}$$

$$\omega^2 = \frac{25\,\pi^2}{9}\ \text{rad}^2/\text{s}^2$$

Passo 3 — a força centrípeta:

$$F = 2{,}7 \cdot \frac{25\,\pi^2}{9} \cdot 0{,}3$$

$$F = 2{,}25\,\pi^2\ \text{N}$$

Passo 4 — a distensão. O $\pi^2$ da força cancela com o da constante elástica:

$$x = \frac{F}{k} = \frac{2{,}25\,\pi^2}{12{,}5\,\pi^2}$$

$$x = 0{,}18\ \text{m} = 180\ \text{mm}$$

Conferindo pela velocidade linear: $v = \omega R = (5\pi/3) \cdot 0{,}3 = 0{,}5\pi$ m/s; então $F = m v^2/R = 2{,}7 \cdot 0{,}25\pi^2/0{,}3 = 2{,}25\pi^2$ N, a mesma força. E faz sentido: a mola esticada mede 30 cm (o raio), dos quais 18 cm são distensão; o comprimento natural dela seria 12 cm.

⚠️ A armadilha: usar 50 como frequência em hertz, sem dividir por 60. A força ficaria 3.600 vezes maior e a distensão daria 648 m, um absurdo para uma mola numa mesa. RPM é rotação por minuto; para usar no SI, passe para por segundo. Também não confunda a distensão com o raio: os 30 cm são o comprimento da mola esticada, não quanto ela esticou.

A ideia em uma frase: a mola é quem segura a massa na curva: kx = mω²R, com ω = 2π·(50/60) rad/s, dá x = 0,18 m.

Resposta: alternativa A (180 mm).