FMABC 2018 — questão 44 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a distância do objeto (o olho da boneca) até a lente, sabendo a vergência da lente e o aumento da imagem.

Passo 1 — a distância focal. A vergência, em dioptrias (di), é o inverso da distância focal em metros:

$$f = \frac{1}{V} = \frac{1}{5}\ \text{m} = 20\ \text{cm}$$

Passo 2 — o aumento. A imagem é direita e quatro vezes maior, então o aumento linear é A = +4. Imagem direita numa lente convergente é virtual (é a lente usada como lupa), e por isso p’ sai negativo:

$$A = -\frac{p'}{p} = 4 \Rightarrow p' = -4\,p$$

Passo 3 — a equação de Gauss:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$$

$$\frac{1}{20} = \frac{1}{p} - \frac{1}{4p} = \frac{3}{4p}$$

$$p = \frac{3 \times 20}{4} = 15\ \text{cm}$$

Conferindo: com p = 15 cm, a imagem fica em p’ = −60 cm. Na equação de Gauss: $1/15 - 1/60 = 4/60 - 1/60 = 3/60 = 1/20$. Confere. E o objeto (15 cm) está entre a lente e o foco (20 cm), que é exatamente onde ele tem de estar para a lente funcionar como lupa e dar imagem direita e ampliada.

Atalho: para lente, $A = f/(f - p)$. Com A = 4 e f = 20 cm: $4 = 20/(20 - p)$, ou seja, $20 - p = 5$ e p = 15 cm.

⚠️ A armadilha: esquecer o sinal e usar p’ = +4p, como se a imagem fosse real. Aí $1/20 = 1/p + 1/(4p) = 5/(4p)$ e p = 25 cm, a alternativa B. Só que imagem real de lente convergente é invertida, e o enunciado diz que a imagem é direita. Outra pegadinha é marcar 20 cm (alternativa A), que é a distância focal, não a do objeto.

A ideia em uma frase: imagem direita e maior numa lente convergente é virtual (lupa): use A = −p’/p = +4, então p’ = −4p, e a equação de Gauss dá p = 15 cm.

Resposta: alternativa E (15 cm).