ENEM 2019 — questão 109 de Física

Resolução comentada

Por que o movimento é helicoidal. A velocidade do íon tem duas partes: uma ao longo de $\vec{B}$ (eixo x) e uma perpendicular a $\vec{B}$ (plano yz). A força magnética $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$ só age sobre a componente perpendicular. Resultado: circular uniforme no plano yz + translação uniforme em x = hélice.

Passo 1 — o raciocínio-chave: a velocidade angular não depende da velocidade. Na parte circular, a força magnética é a resultante centrípeta:

$$q\,v\,B = \frac{m\,v^{2}}{r} \;\Longrightarrow\; \frac{v}{r} = \frac{qB}{m} \;\Longrightarrow\; \omega = \frac{qB}{m}$$

Repare que $v$ sumiu. É por isso que o enunciado destaca que "a velocidade angular é independente de sua velocidade inicial" — essa é justamente a vantagem do aparelho: não é preciso lançar todos os íons com a mesma velocidade.

Passo 2 — a velocidade angular pelo que o aparelho mede. O dispositivo mede o tempo $t$ para $N$ voltas. O período é $T=\dfrac{t}{N}$, e:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi N}{t}$$

Passo 3 — igualar as duas expressões de $\omega$ e isolar a massa.

$$\frac{qB}{m} = \frac{2\pi N}{t} \;\Longrightarrow\; \boxed{m=\frac{qBt}{2\pi N}}$$

Como conferir sem refazer a conta (análise dimensional rápida): mais voltas $N$ no mesmo tempo significa girar mais rápido, o que só acontece se a massa for menor — e $N$ está no denominador. ✅ Um tempo $t$ maior para o mesmo número de voltas significa íon mais pesado — e $t$ está no numerador. ✅

Onde as outras erram: todas trocam ou perdem o $2\pi$, que é justamente o fator que converte voltas por segundo em radianos por segundo.

A ideia em uma frase: no campo magnético o período do íon só depende de $q$, $B$ e $m$ — medir o tempo de $N$ voltas é medir a massa.

Resposta: alternativa A.