UPE 2023 (SSA 2) — questão 25 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o que acontece com o volume do vão entre a casca A e a esfera B quando tudo é aquecido.

Passo 1 — a cavidade dilata como se fosse cheia do material da casca. O espaço interno de A cresce com o coeficiente de A, como se fosse uma esfera maciça de A. Já B cresce com o próprio coeficiente. O volume do vão é a diferença:

$$V_{\text{vão}} = V_A - V_B$$

Passo 2 — dilatação volumétrica de cada uma. Com $\gamma = 3\alpha$:

$$\Delta V_A = V_A \cdot 3\alpha_A\,\Delta T$$

$$\Delta V_B = V_B \cdot 3\alpha_B\,\Delta T$$

Passo 3 — comparar. O raio de A é o dobro do de B, então o volume de A é $2^3 = 8$ vezes o de B: $V_A = 8V_B$. E o coeficiente de B é 8 vezes o de A: $\alpha_B = 8\alpha_A$. Logo:

$$\Delta V_A = 8V_B \cdot 3\alpha_A\,\Delta T$$

$$\Delta V_B = V_B \cdot 3 \cdot 8\alpha_A\,\Delta T$$

Os dois aumentos são iguais. A cavidade cresce exatamente o mesmo volume que a esfera B, e o vão entre elas continua com o mesmo volume, qualquer que seja o aquecimento (os 27 K não entram na conta).

Conferindo: o fator 8 do volume (raio dobrado, ao cubo) compensa exatamente o fator 8 do coeficiente. É o mesmo princípio de um frasco que não transborda quando o líquido e o vidro têm $\gamma_{\text{líq}}V_{\text{líq}} = \gamma_{\text{vidro}}V_{\text{frasco}}$.

Sobre a alternativa C (indicada no gabarito preliminar da UPE; o definitivo a trocou pela E): a física não sustenta “vai a zero”. Fazendo a conta exata, sem aproximação, com $a = \alpha_A\,\Delta T$ (e portanto $\alpha_B\,\Delta T = 8a$), o volume do vão é proporcional a

$$10^3(1 + a)^3 - 5^3(1 + 8a)^3$$

$$= 875 - 21\,000\,a^2 - 63\,000\,a^3$$

Os termos de primeira ordem em $a$ se cancelam (é o resultado do Passo 3), e o que sobra é uma redução minúscula, de segunda ordem. Para o vão chegar a zero, seria preciso $a \approx 0{,}17$, ou seja, $\alpha_A \approx 6 \cdot 10^{-3}\ \text{K}^{-1}$ e $\alpha_B \approx 5 \cdot 10^{-2}\ \text{K}^{-1}$ num aquecimento de 27 K, coeficientes centenas a milhares de vezes maiores que os de qualquer sólido (da ordem de $10^{-5}\ \text{K}^{-1}$). Além disso, o enunciado nem dá o valor dos coeficientes, só a razão entre eles, e com só a razão a única conclusão possível é a da alternativa E.

⚠️ A armadilha: achar que, como B dilata 8 vezes “mais”, ela encosta na casca e o vão some (alternativa C). B tem coeficiente maior, mas volume 8 vezes menor; o aumento absoluto de volume é o mesmo para os dois.

A ideia em uma frase: a cavidade dilata como se fosse feita do material da casca; volume 8 vezes maior com coeficiente 8 vezes menor dá o mesmo aumento de volume.

Resposta: alternativa E (não se altera).