UPE 2021 (SSA 3) — questão 30 de Física

Gabarito EFísica moderna — aniquilação elétron-pósitron (PET)SSA 3 · processo 2021 · 3ª fase · 2º dia
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 30 de Física do UPE 2021 (SSA 3)

Enunciado em texto

Nas questões com respostas numéricas, considere o módulo da aceleração da gravidade g=10,0 m/s2g = 10{,}0\ \text{m/s}^2, o módulo da carga do elétron e=1,6×10−19e = 1{,}6 \times 10^{-19} C, a massa do próton mp=1,7×10−27m_p = 1{,}7 \times 10^{-27} kg, a massa do elétron me=9,1×10−31m_e = 9{,}1 \times 10^{-31} kg, pi π=3\pi = 3 e a constante de Planck h=6,6×10−34h = 6{,}6 \times 10^{-34} Js ou 4,14×10−154{,}14 \times 10^{-15} eV.

Um instrumento de diagnóstico médico moderno, que usa técnica de imagem por raios gamas da aniquilação do par elétron-pósitron, é conhecido como PET. Essa máquina realiza tomografia por emissão de pósitrons, para produzir imagens da seção transversal do corpo de um paciente. O pósitron é a antipartícula do elétron, que possui mesma massa, mas carga de sinal oposta. Para um exame, um paciente recebe injeção intravenosa de um marcador radioativo contendo um isótopo de Flúor-18 ou Gálio-67 ou Tecnécio-99, por exemplo. Encontre o comprimento de onda aproximado de aniquilação de um par elétron-pósitron lento em angstrons.

A) 7,0×1027{,}0 \times 10^2

B) 4,0×1024{,}0 \times 10^2

C) 1,0×101{,}0 \times 10

D) 2,4×10−12{,}4 \times 10^{-1}

E) 1,2×10−21{,}2 \times 10^{-2}

(Enunciado: SSA 3 — UPE 2021, Sistema Seriado de Avaliação — Universidade de Pernambuco.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade de Pernambuco (UPE).

Resolução comentada

O que a questão pede: o comprimento de onda, em angstrons (1 Å = 10⁻¹⁰ m), da radiação gama produzida quando um elétron e um pósitron quase parados se aniquilam.

Passo 1 — a energia liberada. "Lento" quer dizer energia cinética desprezível: toda a energia vem das massas de repouso, E=mc2E = mc^2 para cada partícula. O par tem massa total 2me2m_e:

E=2 mec2E = 2\,m_e c^2

E=2⋅9,1×10−31⋅9×1016E = 2 \cdot 9{,}1 \times 10^{-31} \cdot 9 \times 10^{16}

E≈1,64×10−13 JE \approx 1{,}64 \times 10^{-13}\ \text{J}

(cerca de 1,02 MeV; usamos c=3×108c = 3 \times 10^8 m/s.)

Passo 2 — o comprimento de onda associado a essa energia. De E=hc/λE = hc/\lambda:

λ=h2 mec\lambda = \frac{h}{2\,m_e c}

λ=6,6×10−342⋅9,1×10−31⋅3×108\lambda = \frac{6{,}6 \times 10^{-34}}{2 \cdot 9{,}1 \times 10^{-31} \cdot 3 \times 10^8}

λ≈1,2×10−12 m\lambda \approx 1{,}2 \times 10^{-12}\ \text{m}

λ≈1,2×10−2 A˚\lambda \approx 1{,}2 \times 10^{-2}\ \text{Å}

Esse é o valor da alternativa E, que corresponde a converter toda a energia do par num único comprimento de onda.

Um aviso honesto: na aniquilação real (e é isso que o PET detecta), o par em repouso tem quantidade de movimento nula, e um único fóton não pode ter quantidade de movimento nula. Por isso saem dois fótons, em sentidos opostos, cada um com metade da energia, mec2≈0,511m_e c^2 \approx 0{,}511 MeV. O comprimento de onda de cada um é o dobro: λ=h/(mec)≈2,4×10−12\lambda = h/(m_e c) \approx 2{,}4 \times 10^{-12} m =2,4×10−2= 2{,}4 \times 10^{-2} Å, valor que não aparece nas alternativas (a D tem os mesmos algarismos, mas uma potência de 10 a mais). Ficamos com a E, que é a leitura que a questão permite: o comprimento de onda associado à energia total de aniquilação do par.

⚠️ A armadilha: errar a conversão para angstrom: 1,2×10−121{,}2 \times 10^{-12} m são 1,2×10−21{,}2 \times 10^{-2} Å, não 1,2×10−121{,}2 \times 10^{-12} Å nem 1,2×10−221{,}2 \times 10^{-22}. Outra é usar a massa do próton (dada na prova para outras questões), que levaria a um comprimento de onda cerca de 1.900 vezes menor.

A ideia em uma frase: na aniquilação de um par lento, a energia é 2mec22m_e c^2; o comprimento de onda associado é h/(2mec)≈1,2×10−2h/(2m_e c) \approx 1{,}2 \times 10^{-2} Å (cada um dos dois fótons reais tem o dobro disso).

Resposta: alternativa E (1,2×10−21{,}2 \times 10^{-2} Å).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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