UNITAU 2017 (inverno) — questão 65 de Física

Gabarito AHidrostática e dilatação — pressão no fundo de um recipiente que se dilataMedicina · Vestibular de Inverno

Enunciado da questão 65 de Física do UNITAU 2017 (inverno) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

A variação da temperatura de um objeto usualmente altera as dimensões desse objeto. Isso é devido ao processo de dilatação do material do qual o objeto é composto. Considere um recipiente cilíndrico, de raio $R_0$ e altura $h_0$ , quando a uma temperatura de $\theta_0$ . O recipiente é aberto e contém uma quantidade de massa m de um líquido. A pressão exercida pelo líquido sobre as paredes do recipiente na parte mais funda do recipiente é dada por $p = p_0 + \rho_0 g h_0$ , onde $p_0$ é a pressão atmosférica; $\rho_0$ é a densidade do líquido à temperatura $\theta_0$ ; $h_0$ é a altura do líquido à temperatura $\theta_0$ ; e g é o módulo da aceleração gravitacional terrestre. O coeficiente de dilatação linear do recipiente é igual a $\alpha$ . Quando a temperatura do conjunto recipiente mais líquido é aumentada de $\Delta\theta$ , o líquido ainda permanece totalmente contido no recipiente, mas a pressão exercida pelo líquido sobre a área da base do recipiente será dada por

a) $p = p_0 + \dfrac{mg}{\pi R_0^2 (1 + 2\alpha\Delta\theta)}$

b) $p = p_0 + \dfrac{mg}{\pi R_0^3 (1 + 3\alpha\Delta\theta)}$

c) $p = p_0 + \dfrac{mg}{\pi R_0^2 (1 + 2\alpha\Delta\theta)^2}$

d) $p = p_0 + \dfrac{mg}{R_0^3 (1 + \alpha\Delta\theta)^3}$

e) $p = p_0 + \dfrac{\rho g}{\pi R_0^2 (1 + 3\alpha\Delta\theta)^2}$

(Enunciado: Vestibular de Inverno UNITAU 2017, Medicina — Universidade de Taubaté.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade de Taubaté (UNITAU).

Resolução comentada

O que a questão pede: a nova pressão no fundo do recipiente depois que tudo esquenta e se dilata.

Passo 1 — a pressão no fundo de um cilindro é peso sobre área. Num recipiente de paredes verticais, a coluna de líquido inteira se apoia na base. Por isso a parcela $\rho g h$ é o peso do líquido dividido pela área da base. No início, isso fica claro: a massa é $m = \rho_0 \pi R_0^2 h_0$ , e então

$\rho_0 g h_0 = \frac{m g}{\pi R_0^2}$

Passo 2 — o que muda com o aquecimento. O líquido também se dilata: a densidade cai e a altura sobe, mas a massa não muda, e o peso $mg$ continua o mesmo. Por isso não é preciso conhecer a dilatação do líquido. O que muda é a área da base, que se dilata com o recipiente. Para uma área, o coeficiente de dilatação superficial é $\beta = 2\alpha$ :

$A = \pi R_0^2\,(1 + 2\alpha\Delta\theta)$

Passo 3 — a nova pressão:

$p = p_0 + \frac{m g}{\pi R_0^2 (1 + 2\alpha\Delta\theta)}$

Um detalhe honesto: a área exata seria $\pi R_0^2 (1 + \alpha\Delta\theta)^2$ , porque o raio vira $R_0(1 + \alpha\Delta\theta)$ . Como $\alpha\Delta\theta$ é muito pequeno, o termo $(\alpha\Delta\theta)^2$ é desprezível e $(1 + \alpha\Delta\theta)^2 \approx 1 + 2\alpha\Delta\theta$ . É a aproximação usual da dilatação superficial, e é a que a alternativa A usa.

Por que não as outras: (B) e (D) usam $R_0^3$ e dilatação volumétrica, e a unidade nem dá pressão (seria N/m³); (C) eleva ao quadrado um fator que já é o da área, contando a dilatação duas vezes; (E) troca a massa pela densidade, e também não dá unidade de pressão.

⚠️ A armadilha: achar que, como a altura do líquido sobe, a pressão no fundo aumenta. A altura sobe, mas a densidade cai, e o que importa no fundo de um cilindro é o peso (que não muda) espalhado por uma área um pouco maior: a pressão do líquido diminui levemente.

A ideia em uma frase: no fundo de um recipiente cilíndrico, a pressão do líquido é mg/A; aquecendo, o peso fica igual e a área cresce com β = 2α.

Resposta: alternativa A ( $p = p_0 + \frac{mg}{\pi R_0^2(1 + 2\alpha\Delta\theta)}$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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