UFRGS 2025 — questão 26 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a condição de equilíbrio de cada carga, escrita como uma fórmula para θ, e a distância entre as cargas quando θ = 45°.

Passo 1 — as forças numa das cargas (a da direita, por exemplo):

• o peso $mg$, para baixo;

• a força elétrica da outra carga, repulsiva, horizontal e para fora, com as cargas a $2L$ uma da outra: $F = \dfrac{kq^2}{(2L)^2} = \dfrac{kq^2}{4L^2}$;

• a normal N da parede. Como a cuba é lisa, não há atrito, e a normal é perpendicular à superfície: aponta ao longo do raio, da carga para o centro da hemisfera. Ela forma, portanto, o ângulo θ com a horizontal.

Passo 2 — equilíbrio em cada direção. Decompondo a normal:

$$\text{horizontal: } N\cos\theta = \frac{kq^2}{4L^2}$$

$$\text{vertical: } N\,\text{sen}\,\theta = mg$$

Passo 3 — dividir uma pela outra (o N some):

$$\text{tg}\,\theta = \frac{mg}{kq^2/(4L^2)} = \frac{4mgL^2}{kq^2}$$

$$\theta = \arctan\!\left(\frac{4mgL^2}{kq^2}\right)$$

Passo 4 — o caso θ = 45°. Aí tg θ = 1, e a força elétrica fica igual ao peso:

$$\frac{kq^2}{(2L)^2} = mg \;\Rightarrow\; (2L)^2 = \frac{kq^2}{mg}$$

$$2L = q\,\sqrt{\frac{k}{mg}}$$

Conferindo pelas unidades: $k/(mg)$ tem unidade de (N·m²/C²)/N = m²/C²; a raiz dá m/C e, vezes q (em C), sobra metro. Nas alternativas (A) e (B), a segunda expressão começa com g e não dá metro; em (D), também não.

Por que não as outras: (B) e (D) invertem a fração da tangente; isso seria a tangente do ângulo com a vertical. (C) tem $q^2L^2$ no denominador, sem sentido físico.

⚠️ A armadilha: usar L como distância entre as cargas na lei de Coulomb. A distância é 2L, e é por isso que aparece o 4 nas fórmulas.

A ideia em uma frase: na cuba lisa a normal aponta para o centro; ela equilibra o peso na vertical e a repulsão na horizontal, e a razão entre peso e repulsão dá a tangente de θ.

Resposta: alternativa E ($\theta = \arctan(4mgL^2/kq^2)$; $2L = q\sqrt{k/mg}$).