UFRGS 2023 — questão 20 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: outra frequência de ressonância da mesma corda, sabendo que 1005 Hz e 1675 Hz são ressonâncias.

Passo 1 — as ressonâncias de uma corda. Numa corda presa nas duas pontas, as frequências de ressonância são os múltiplos inteiros da fundamental $f_1$:

$$f_n = n\,f_1 \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

Então 1005 Hz e 1675 Hz têm de ser, os dois, múltiplos inteiros de $f_1$.

Passo 2 — a fundamental mais provável. A razão entre as duas é

$$\frac{1675}{1005} = \frac{5}{3}$$

A maior frequência que divide as duas é o máximo divisor comum: 335 Hz. Com $f_1 = 335$ Hz, 1005 Hz é o 3º harmônico e 1675 Hz é o 5º. As ressonâncias seriam:

$$335,\ 670,\ 1005,\ 1340,\ 1675,$$

$$2010,\ 2345,\ 2680,\ \ldots\ \text{Hz}$$

Entre as opções, só 2345 Hz = 7 × 335 Hz aparece: a alternativa D. Nenhuma das outras é múltipla de 335 Hz (697, 1507, 2033 e 2584 não são sequer múltiplas de 5).

Passo 3 — o defeito. O enunciado não diz que 1005 Hz e 1675 Hz são as únicas ressonâncias entre elas, nem quais harmônicos são. Então a fundamental pode ser qualquer divisor comum de 1005 e 1675: 335 Hz, 67 Hz, 5 Hz ou até 1 Hz. Com $f_1 = 1$ Hz (1005 Hz seria o 1005º harmônico), toda frequência inteira é ressonância, e as cinco alternativas estariam corretas. Fisicamente é exagerado, mas nada no enunciado exclui esse caso.

⚠️ A armadilha: tomar a diferença 1675 − 1005 = 670 Hz como a fundamental, como se as duas ressonâncias fossem harmônicos vizinhos. Isso não funciona: 1005 não é múltiplo de 670. Na corda presa nas pontas, a diferença entre harmônicos vizinhos é $f_1$; aqui as duas frequências pulam um harmônico (3º e 5º).

A ideia em uma frase: numa corda, as ressonâncias são múltiplos inteiros da fundamental — e, sem saber quais harmônicos são os dados, a fundamental não fica determinada.

Resposta: questão anulada pela UFRGS no gabarito oficial. Pela leitura natural (fundamental de 335 Hz, a maior possível), a resposta é 2345 Hz, a alternativa D. Mas o enunciado não fixa a fundamental: com qualquer divisor comum de 1005 e 1675 (no limite, 1 Hz), todas as opções passam a ser ressonâncias.