UFLA 2021 (PAS, 2ª etapa) — questão 14 de Física

Gabarito AFísica moderna — análise dimensional do tempo e do comprimento de PlanckPAS · 2ª etapa · Grupo XXI, triênio 2020–2022 · prova de 25/09/2021
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 14 de Física do UFLA 2021 (PAS, 2ª etapa)

Enunciado em texto

A Escala de Planck é a menor escala da física quântica que ainda não é explorada experimentalmente. Teoricamente, na escala de Planck se dá a unificação do mundo microscópico (descrita pela teoria quântica) e a gravidade (descrita pela teoria da relatividade geral de Einstein). Nessa escala, pretende-se entender como foi e como é a formação do universo nos extremos mínimos de tempo, espaço e energia. Essa escala é 10−4310^{-43} s, tempo de Planck tplt_{pl}, e espaços da ordem de 10−3510^{-35} m, comprimento de Planck lpll_{pl}. Na escala de Planck, as quantidades de espaço, tempo, energia e outras unidades são definidas em termos das constantes universais. A constante gravitacional é G = 6.674184 x 10−1110^{-11} m³/(Kg . s²), a velocidade da luz é c = 299792458 m/s, e a constante de Planck, que toma conta do mundo microscópico, é dada por ℏ=h2π=1.05457181710−34\hbar = \frac{h}{2\pi} = 1.05457181710^{-34} Js. Faça a análise dimensional e marque a alternativa que apresenta a unidade CORRETA para o tempo de Planck tplt_{pl} e o comprimento de Planck lpll_{pl}

A) tpl=ℏGc5t_{pl} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} e lpl=ℏGc3l_{pl} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}

B) tpl=ℏGc3t_{pl} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} e lpl=ℏGc5l_{pl} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}

C) tpl=ℏGc5t_{pl} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} e lpl=ℏGc5l_{pl} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}

D) tpl=ℏGc3t_{pl} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} e lpl=ℏGc3l_{pl} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}

(Enunciado: PAS/UFLA 2ª etapa (Grupo XXI, triênio 2020–2022), prova de 25/09/2021 — Universidade Federal de Lavras.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Federal de Lavras (UFLA) e à sua Coordenadoria Geral de Processos Seletivos (COPESE/UFLA).

Resolução comentada

O que a questão pede: descobrir, pelas unidades, qual combinação de ħ, G e c dá um tempo (segundos) e qual dá um comprimento (metros).

Passo 1 — as unidades de cada constante (no SI). O joule é kg·m²/s², então:

[ℏ]=J⋅s=kg m2 s−1[\hbar] = \text{J}\cdot\text{s} = \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-1}

[G]=m3 kg−1 s−2[G] = \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}

[c]=m s−1[c] = \text{m}\,\text{s}^{-1}

Passo 2 — o produto ħG. O quilograma se cancela:

[ℏG]=m5 s−3[\hbar G] = \text{m}^5\,\text{s}^{-3}

Passo 3 — dividindo por c5c^5:

[ℏGc5]=m5 s−3m5 s−5=s2\left[\frac{\hbar G}{c^5}\right] = \frac{\text{m}^5\,\text{s}^{-3}}{\text{m}^5\,\text{s}^{-5}} = \text{s}^2

A raiz dá segundos: ℏG/c5\sqrt{\hbar G/c^5} é um tempo.

Passo 4 — dividindo por c3c^3:

[ℏGc3]=m5 s−3m3 s−3=m2\left[\frac{\hbar G}{c^3}\right] = \frac{\text{m}^5\,\text{s}^{-3}}{\text{m}^3\,\text{s}^{-3}} = \text{m}^2

A raiz dá metros: ℏG/c3\sqrt{\hbar G/c^3} é um comprimento.

Conferindo com os números: ℏG≈7,0×10−45\hbar G \approx 7{,}0 \times 10^{-45} (em unidades SI). Dividindo por c5≈2,4×1042c^5 \approx 2{,}4 \times 10^{42} e tirando a raiz, sai cerca de 5,4×10−445{,}4 \times 10^{-44} s, da ordem de 10−4310^{-43} s. Dividindo por c3≈2,7×1025c^3 \approx 2{,}7 \times 10^{25}, sai cerca de 1,6×10−351{,}6 \times 10^{-35} m. Exatamente as ordens de grandeza do texto. E ainda há um atalho: comprimento = velocidade × tempo, então lpl=c tpll_{pl} = c\,t_{pl}, e multiplicar por c dentro da raiz é trocar c5c^5 por c3c^3.

⚠️ A armadilha: inverter os expoentes e marcar a alternativa B. Quem lembra que tempo é “comprimento dividido por velocidade” pode achar que o tempo leva menos potências de c, mas é o contrário: o tempo tem uma potência de c a mais no denominador (c5c^5) que o comprimento (c3c^3). C e D dão a mesma expressão para grandezas diferentes, o que já é impossível.

A ideia em uma frase: ħG tem unidade m⁵/s³; dividido por c5c^5 vira s², dividido por c3c^3 vira m²: a raiz do primeiro é o tempo de Planck, a do segundo, o comprimento.

Resposta: alternativa A (tpl=ℏG/c5t_{pl} = \sqrt{\hbar G/c^5} e lpl=ℏG/c3l_{pl} = \sqrt{\hbar G/c^3}).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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