UFLA 2021 (PAS, 2ª etapa) — questão 11 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o período orbital do cometa, usando a terceira lei de Kepler na forma $T^2 = a^3$ (T em anos, a em UA).

Passo 1 — o semieixo maior. O texto diz que ele vale cerca de 9 vezes a distância média de Plutão ao Sol, que é 40 UA:

$$a = 9 \times 40 = 360\ \text{UA}$$

Passo 2 — a terceira lei de Kepler. Com o tempo em anos e a distância em UA, a constante da lei vale 1 para qualquer corpo que orbita o Sol (a própria Terra tem T = 1 ano e a = 1 UA). Então:

$$T^2 = a^3 \Rightarrow T = a\sqrt{a}$$

$$T = 360\sqrt{360}$$

Como $\sqrt{360} = 6\sqrt{10} \approx 6 \times 3{,}162 \approx 18{,}97$:

$$T \approx 360 \times 18{,}97$$

$$T \approx 6\,830\ \text{anos}$$

Conferindo: $6830^2 \approx 4{,}66 \times 10^{7}$ e $360^3 = 46\,656\,000 \approx 4{,}67 \times 10^{7}$. Bate. E também bate com a história do texto: a última passagem foi por volta de 4000 a.C., ou seja, uns 6000 anos antes de 2020, da mesma ordem do período calculado.

Note: o dado do periélio (0,3 UA) e o valor de 1 UA em quilômetros não entram na conta; a lei de Kepler usa o semieixo maior, não a distância mínima ao Sol.

⚠️ A armadilha: ler “há 4000 a.C.” como “há 4000 anos” e marcar a alternativa C. Antes de Cristo quer dizer cerca de 4000 + 2020 ≈ 6000 anos atrás. Outro tropeço é usar a = 40 UA (a distância de Plutão, sem o fator 9), que dá T ≈ 253 anos, valor que nem aparece nas alternativas.

A ideia em uma frase: com T em anos e a em UA, a terceira lei de Kepler vira simplesmente $T^2 = a^3$: semieixo de 360 UA dá período de cerca de 6830 anos.

Resposta: alternativa D (cerca de 6830 anos).