PUC-SP 2018 — questão 17 de Física

Gabarito DÓptica — espelhos esféricos e aumento linear (equação de Gauss)Vestibular de Verão · Prova objetiva
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 17 de Física do PUC-SP 2018

Enunciado em texto

Quando necessário, adote os valores da tabela:

módulo da aceleração da gravidade: 10 m.s−210\ \text{m.s}^{-2}; calor latente de vaporização da água: 540 cal.g−1540\ \text{cal.g}^{-1}; calor específico da água: 1,0 cal.g−1.∘C−11{,}0\ \text{cal.g}^{-1}.{}^{\circ}\text{C}^{-1}; densidade da água: 1 g.cm−31\ \text{g.cm}^{-3}; calor específico do cobre: 0,094 cal.g−1.∘C−10{,}094\ \text{cal.g}^{-1}.{}^{\circ}\text{C}^{-1}; calor latente de fusão do cobre: 49 cal.g−149\ \text{cal.g}^{-1}; temperatura de fusão do cobre: 1083 ∘C1083\ {}^{\circ}\text{C}; 1cal = 4,0 J; π = 3; sen30° = 0,5; cos30°= 0,8

Considere dois espelhos esféricos, um côncavo e outro convexo, que obedeçam às condições de nitidez de Gauss. Esses espelhos possuem, em módulo, a mesma distância focal. De um objeto situado a uma distância P1\mathbf{P_1} da superfície refletora do espelho convexo, é conjugada uma imagem cujo aumento linear transversal é igual a ¾.

Determine o módulo da relação P2/P1P_2/P_1, para que, quando esse mesmo objeto estiver distante P2P_2 da superfície refletora do espelho côncavo, seja obtido o mesmo aumento linear em módulo.

(A) 1

(B) 3

(C) 4

(D) 7

(Enunciado: Vestibular PUC-SP 2018 — PUC-SP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).

Resolução comentada

O que a questão pede: a que distância do espelho côncavo o objeto deve ficar para ter aumento de módulo 3/4, comparada com a distância no convexo.

Passo 1 — a fórmula do aumento só com f e p. Juntando A=−p′/pA = -p'/p com a equação de Gauss 1/f=1/p+1/p′1/f = 1/p + 1/p', chega-se a:

A=ff−pA = \frac{f}{f - p}

Chame de F o módulo da distância focal. No convexo, f = −F; no côncavo, f = +F.

Passo 2 — o espelho convexo. O convexo de objeto real dá sempre imagem direita e menor, então A = +3/4:

−F−F−P1=34⇒FF+P1=34\frac{-F}{-F - P_1} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{F}{F + P_1} = \frac{3}{4}

4F=3F+3P1⇒P1=F34F = 3F + 3P_1 \Rightarrow P_1 = \frac{F}{3}

Passo 3 — o espelho côncavo. Ele também precisa dar |A| = 3/4, uma imagem menor. No côncavo, imagem menor só acontece com o objeto além do centro de curvatura, e aí a imagem é real e invertida: A = −3/4.

FF−P2=−34\frac{F}{F - P_2} = -\frac{3}{4}

4F=−3F+3P2⇒P2=7F34F = -3F + 3P_2 \Rightarrow P_2 = \frac{7F}{3}

(Se tentássemos A = +3/4 no côncavo, sairia P2=−F/3P_2 = -F/3, distância negativa: impossível para um objeto real.)

Passo 4 — a razão:

P2P1=7F/3F/3=7\frac{P_2}{P_1} = \frac{7F/3}{F/3} = 7

Conferindo: P2=7F/3≈2,3FP_2 = 7F/3 \approx 2{,}3F está mesmo além do centro de curvatura (2F), onde o côncavo forma imagem real, invertida e menor.

⚠️ A armadilha: usar A = +3/4 também no côncavo, achando que “mesmo aumento” quer dizer imagem direita. Sai P2=−F/3P_2 = -F/3 e, em módulo, a razão 1 (alternativa A). Mas distância negativa não serve para um objeto real: o enunciado fala do mesmo aumento em módulo, justamente porque a imagem do côncavo é invertida.

A ideia em uma frase: com A = f/(f − p) e o sinal certo da focal, cada espelho mostra onde o objeto precisa estar; no côncavo, imagem menor é sempre invertida.

Resposta: alternativa D (7).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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