OBF 2024 (1ª fase, Nível III) — questão 11 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: como fica distribuída a carga induzida na face de cima de um cilindro metálico neutro quando se aproxima uma carga negativa do centro dessa face.

Passo 1 — o que acontece perto da carga. A carga $q_1$ é negativa e está bem perto do centro de $S$. Ela empurra os elétrons livres do metal para longe. O centro de $S$, que é a região mais próxima, fica com falta de elétrons: $\sigma > 0$ ali. Isso já elimina (A) e (B).

Passo 2 — a face de cima funciona como um plano. Como $q_1$ está muito perto de $S$ e o cilindro é largo ($h < R$), visto da carga a face de cima parece um plano metálico enorme. Para um plano condutor, a carga induzida é a de uma “carga-imagem” $+|q_1|$ do outro lado da superfície: ela se espalha pela face com densidade máxima logo abaixo da carga e que cai com a distância. Se $a$ é a distância de $q_1$ até $S$:

$$\sigma(r) = \frac{|q_1|\,a}{2\pi\,(r^2 + a^2)^{3/2}}$$

Ela é positiva, máxima em $r = 0$ e decrescente em $r$; somada sobre a face, dá $+|q_1|$. Isso descarta a (C): a distribuição não é uniforme, porque o empurrão nos elétrons é muito mais forte perto da carga.

Passo 3 — e a carga negativa? O cilindro é neutro, então os elétrons empurrados, $-|q_1|$ no total, vão para as regiões mais afastadas de $q_1$: a lateral e a face de baixo, fora de $S$. Por isso o modelo descarta a (E), que põe a carga negativa na própria face $S$. Fica a (D): $\sigma(r)$ positiva e decrescente, mais concentrada no centro.

O que a física mais completa acrescenta: num disco finito, os elétrons se acumulam também nas quinas, e a quina da borda de $S$ recebe parte deles. Assim, bem perto de $r = R$, $\sigma$ chega a ficar levemente negativa e a carga total em $S$ é um pouco menor que $|q_1|$. O gabarito oficial (D) usa o modelo do plano, que descreve bem a face toda, menos essa faixa da borda. (O enunciado não define $q_i$; pelo contexto, $|q_i|$ é o valor da carga induzida, igual a $|q_1|$.)

⚠️ A armadilha: a (C), achar que a carga induzida se espalha por igual. A indução é um efeito local: é muito mais forte logo abaixo da carga externa.

A ideia em uma frase: uma carga perto de um condutor atrai para a superfície mais próxima carga de sinal oposto, concentrada logo abaixo dela e cada vez mais rala à medida que se afasta.

Resposta: alternativa D (σ positiva e decrescente com r, concentrada no centro).