FUVEST 2013 — questão 23 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: em que mês é o solstício de verão no Egito e qual ângulo θ, com R = 7 500 km e 900 km entre as cidades, leva a esse raio.

Passo 1 — o mês. O Egito fica no hemisfério norte. Lá, o solstício de verão é por volta de 21 de junho (em dezembro é o solstício de inverno do hemisfério norte). Isso já deixa (A), (C) e (E).

Passo 2 — por que θ é o ângulo no centro da Terra. O Sol está tão longe que os raios chegam paralelos. Em Assuã, o raio de sol coincide com a vertical, que aponta para o centro da Terra. Em Alexandria, a vertical também aponta para o centro. Então o ângulo entre o bastão de Alexandria e o raio de sol é igual ao ângulo, no centro da Terra, entre as verticais das duas cidades (ângulos alternos entre paralelas).

Passo 3 — arco e ângulo. Num círculo, o comprimento do arco é o raio vezes o ângulo em radianos ($s = R\,\theta$):

$$\theta = \frac{s}{R} = \frac{900}{7500} = 0{,}12\ \text{rad}$$

Passo 4 — em graus, lembrando que π rad = 180° e usando π = 3:

$$\theta = 0{,}12 \cdot \frac{180^{\circ}}{3} = 7{,}2^{\circ}$$

Conferindo por proporção: a circunferência toda tem $2\pi R = 2 \cdot 3 \cdot 7500 = 45\,000$ km para 360°. Então 900 km correspondem a $360^{\circ} \cdot 900/45\,000 = 7{,}2^{\circ}$.

⚠️ A armadilha: associar o “bastão sem sombra” ao ângulo de 23°, que é a inclinação do eixo da Terra (Assuã fica perto do Trópico de Câncer), e marcar a (C). O θ da questão é outro: é a diferença de latitude entre as duas cidades, que sai da conta com a distância. Também é fácil cair no dezembro, que é verão aqui no Brasil, mas não no Egito.

A ideia em uma frase: com raios de sol paralelos, o ângulo da sombra em Alexandria é o ângulo central entre as cidades, e arco = raio × ângulo.

Resposta: alternativa A (junho; 7°).