FMJ 2023 — questão 57 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a que distâncias da vela a lente pode ficar para formar na parede uma imagem nítida.

Passo 1 — as duas condições. A imagem é projetada, então é real e fica na parede. Chamando de p a distância vela–lente e de p' a distância lente–parede:

$$p + p' = 100\ \text{cm}$$

E a equação de Gauss, com f = 16 cm:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$$

Passo 2 — juntar. Somando as frações:

$$\frac{1}{f} = \frac{p + p'}{p\,p'} \;\Rightarrow\; p\,p' = f\,(p + p')$$

$$p\,p' = 16 \times 100 = 1\,600$$

Passo 3 — dois números de soma 100 e produto 1 600. Com $p' = 100 - p$:

$$p\,(100 - p) = 1\,600$$

$$p^2 - 100\,p + 1\,600 = 0$$

$$p = \frac{100 \pm 60}{2}$$

Logo p = 80 cm ou p = 20 cm: a lente deve ficar a 20 cm ou a 80 cm da vela.

Conferindo: $\frac{1}{20} + \frac{1}{80} = \frac{4 + 1}{80} = \frac{1}{16}$. As duas posições são simétricas: o que é p numa é p' na outra (na primeira, a imagem sai ampliada 4 vezes; na segunda, reduzida 4 vezes).

Por que não as outras: todos os pares somam 100 cm, mas só 20 e 80 dão produto 1 600. Por exemplo, 30 e 70 dão $1/30 + 1/70 = 1/21$, ou seja, f = 21 cm, e 25 e 75 dão f = 18,75 cm.

⚠️ A armadilha: parar na soma (todas as alternativas somam 100) e escolher “no olho”. A informação decisiva é o foco: só testando Gauss, ou montando a equação do 2º grau, sai o par certo.

A ideia em uma frase: com objeto e tela fixos, p + p' é a distância entre eles e p·p' = f·(p + p'): duas posições simétricas da lente.

Resposta: alternativa D (20 cm e 80 cm).