FMJ 2021 — questão 60 de Física

Gabarito DFísica moderna — aniquilação elétron-pósitron (E = mc²)Medicina · Prova II · Versão 3
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 60 de Física do FMJ 2021

Enunciado em texto

A tomografia por emissão de pósitrons é um exame da medicina nuclear que utiliza elementos radioativos que decaem por emissão de pósitrons, que são antipartículas do elétron. Após ser emitido, o pósitron encontra um elétron das células do paciente, ocorre a aniquilação de ambos e criam-se dois fótons de radiação gama. O equipamento detecta essa radiação e constrói a imagem da região do interior do corpo do paciente.

De acordo com a Teoria da Relatividade, a relação entre massa (m) e energia (E) é dada pela expressão E = mc², sendo c a velocidade da luz no vácuo igual a 3×1083 \times 10^{8} m/s. Considerando-se a massa do elétron igual a 9×10−319 \times 10^{-31} kg, a quantidade de energia associada a cada fóton da radiação gama resultante da aniquilação de um par elétron-pósitron é

(A) 2,7×10−382{,}7 \times 10^{-38} J.

(B) 1,6×10−131{,}6 \times 10^{-13} J.

(C) 1,6×10−191{,}6 \times 10^{-19} J.

(D) 8,1×10−148{,}1 \times 10^{-14} J.

(E) 4,0×10−154{,}0 \times 10^{-15} J.

(Enunciado: Vestibular FMJ 2021, Medicina, Prova II — FMJ/Vunesp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Faculdade de Medicina de Jundiaí (FMJ) e à Fundação VUNESP.

Resolução comentada

O que a questão pede: a energia de um dos dois fótons gama produzidos quando um elétron e um pósitron se aniquilam.

Passo 1 — quanta massa vira energia. O pósitron é a antipartícula do elétron: tem a mesma massa e carga oposta. Na aniquilação, as duas massas desaparecem e viram energia (desprezando a energia cinética das partículas, que é pequena perto dessa):

Etotal=2 m c2E_{\text{total}} = 2\,m\,c^2

Passo 2 — dividir entre os dois fótons. Os dois fótons saem em sentidos opostos com a mesma energia (é o que conserva a quantidade de movimento de um par praticamente parado). Cada um leva metade:

Efoˊton=2 m c22=m c2E_{\text{fóton}} = \frac{2\,m\,c^2}{2} = m\,c^2

Passo 3 — a conta:

E=9×10−31×(3×108)2E = 9 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^{8})^2

E=9×10−31×9×1016E = 9 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16}

E=81×10−15=8,1×10−14 JE = 81 \times 10^{-15} = 8{,}1 \times 10^{-14}\ \text{J}

⚠️ A armadilha: calcular a energia do par inteiro, 2 m c2≈1,6×10−132\,m\,c^2 \approx 1{,}6 \times 10^{-13} J (alternativa B), e esquecer que ela se divide entre os dois fótons. Outra é esquecer de elevar c ao quadrado: 9×10−31×3×108=2,7×10−229 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{8} = 2{,}7 \times 10^{-22}, que nem é alternativa. E a C (1,6×10−191{,}6 \times 10^{-19}) só lembra o valor da carga elementar, que não entra aqui.

A ideia em uma frase: na aniquilação, a massa do par (2m) vira a energia de dois fótons iguais, então cada fóton leva mc² = 8,1 × 10⁻¹⁴ J.

Resposta: alternativa D (8,1×10−148{,}1 \times 10^{-14} J).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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