URCA 2020 (PSU 2020.2) — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a densidade da madeira em relação à água, pela fração do tronco que fica submersa.

Passo 1 — a condição de flutuação. Em equilíbrio, peso = empuxo:

$$\rho_m\,V\,g = \rho_a\,V_{\text{sub}}\,g \Rightarrow \frac{\rho_m}{\rho_a} = \frac{V_{\text{sub}}}{V}$$

Como o tronco é um cilindro deitado, a fração de volume submersa é a fração da área do círculo que fica dentro da água.

Passo 2 — a parte de fora. O raio é R = 10 cm e a calota fora da água tem altura 5 cm = R/2. A corda na linha da água fica a R/2 do centro; o ângulo central α que ela subentende sai de:

$$\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$$

$$\alpha = 120^{\circ} = \frac{2\pi}{3}$$

A área da calota é a do setor de 120° menos a do triângulo formado pelo centro e a corda:

$$A_{\text{fora}} = \frac{R^2}{2}\left(\alpha - \text{sen}\,\alpha\right)$$

$$A_{\text{fora}} = \frac{R^2}{2}\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Passo 3 — a fração de fora e a de dentro. Dividindo pela área do círculo, $\pi R^2$:

$$\frac{A_{\text{fora}}}{\pi R^2} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}$$

$$\frac{\rho_m}{\rho_a} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4\pi} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4\pi}$$

Conferindo: $2/3 + \sqrt{3}/(4\pi) \approx 0{,}667 + 0{,}138 \approx 0{,}80$. Faz sentido: com só 5 cm de 20 cm de fora, a maior parte do tronco está submersa, e a madeira é um pouco menos densa que a água.

⚠️ A armadilha: parar na fração de fora da água, $1/3 - \sqrt{3}/(4\pi)$, ou somar o triângulo em vez de subtraí-lo, o que leva às alternativas A ou B com o sinal trocado. A densidade relativa é a fração submersa.

A ideia em uma frase: num corpo que flutua, a densidade relativa é a fração submersa do volume; num cilindro deitado, é a fração submersa da área do círculo.

Resposta: alternativa C ($\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4\pi}$).