UNEMAT 2008 — questão 8 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a altura da torre, a partir dos ângulos sob os quais o topo é visto de duas posições.

Passo 1 — montar os triângulos. Desprezando a altura dos olhos da pessoa (o enunciado não a dá), cada visada forma um triângulo retângulo com a altura h da torre e a distância horizontal até ela. Seja x a distância inicial. Da primeira posição:

$$\text{tg}\,45^{\circ} = \frac{h}{x} = 1 \;\Rightarrow\; x = h$$

Passo 2 — a segunda posição, 4 m mais longe:

$$\text{tg}\,\beta = \frac{h}{x + 4} = \frac{5}{6}$$

Passo 3 — resolver com x = h:

$$6h = 5(h + 4) = 5h + 20$$

$$h = 20\ \text{m}$$

Conferindo: com h = 20 m, a pessoa estava a 20 m (tg α = 20/20 = 1, α = 45°) e foi para 24 m (tg β = 20/24 = 5/6). Confere.

⚠️ A armadilha: usar 4 m como a distância total da segunda posição: h/4 = 5/6 dá h ≈ 3,3 m, que nem aparece. Os 4 m são o quanto a pessoa se afastou, e somam-se à distância inicial.

A ideia em uma frase: duas visadas, dois triângulos retângulos com a mesma altura: escreva a tangente em cada um e resolva o sistema.

Resposta: alternativa E (20 metros).