UFSC 2012 — questão 23 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: analisar a talha que ergue o bloco e depois a sequência descida da esfera → colisão com a caixa → subida do conjunto. Use g = 10 m/s², o valor do formulário da prova.

Passo 1 — a polia móvel. O bloco (peso 20 N) está pendurado numa polia móvel sustentada por dois trechos do mesmo fio. Cada trecho puxa com a tração T, e a polia fixa só muda a direção do fio:

$$2T = 20\ \text{N} \Rightarrow T = 10\ \text{N}$$

Em compensação, para o bloco subir h, cada um dos dois trechos tem de encurtar h: a pessoa puxa $2h$ de fio.

Passo 2 — a esfera desce a rampa. Sem atrito, ela cai 4,05 m:

$$v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 4{,}05}$$

$$v = \sqrt{81} = 9{,}0\ \text{m/s}$$

Passo 3 — a esfera entra na caixa. Elas seguem juntas: colisão perfeitamente inelástica. A quantidade de movimento se conserva:

$$0{,}5 \cdot 9{,}0 = (0{,}5 + 0{,}5)\,v^{\prime}$$

$$v^{\prime} = 4{,}5\ \text{m/s}$$

Passo 4 — o conjunto sobe. Agora só o peso trabalha, e a energia se conserva:

$$h_{\text{máx}} = \frac{v^{\prime 2}}{2g} = \frac{4{,}5^2}{20}$$

$$h_{\text{máx}} \approx 1{,}01\ \text{m}$$

(01) Falsa. Pelo Passo 1, basta 10 N (no limite, para subir com velocidade constante): a polia móvel divide o peso por dois.

(02) Falsa. A quantidade de movimento se conserva, sim, mas a esfera fica dentro da caixa: é colisão perfeitamente inelástica, com perda de energia cinética (de 20,25 J para 10,1 J).

(04) Verdadeira. Passos 2 e 4.

(08) Falsa. O conjunto volta à posição inicial com a mesma rapidez com que começou a subir, 4,5 m/s, e não 9,0 m/s: a energia cinética perdida na colisão não volta. E com 4,5 m/s a esfera só subiria $4{,}5^2/20 \approx 1{,}0$ m na rampa, longe do topo.

(16) Verdadeira. O conjunto começa a girar em torno do suporte, num círculo de raio 2,0 m:

$$\omega = \frac{v^{\prime}}{R} = \frac{4{,}5}{2{,}0} = 2{,}25\ \text{rad/s}$$

Subindo 1,01 m, a haste de 2,0 m forma com a vertical um ângulo tal que

$$\cos\theta = \frac{2{,}0 - 1{,}01}{2{,}0} \approx 0{,}49$$

ou seja, $\theta \approx 60^{\circ}$ (o formulário da prova dá $\cos 60^{\circ} = 0{,}50$).

(32) Falsa. A velocidade logo após a colisão depende também da massa da caixa ($v^{\prime} = m_e v/(m_e + m_c)$), e a altura depende de g. Não é “apenas” massa e velocidade da esfera.

(64) Falsa. Pelo Passo 1, a pessoa puxa o dobro: 8,1 m de fio. A polia móvel reduz a força à metade, mas dobra o deslocamento (o trabalho é o mesmo).

⚠️ A armadilha: na (04), usar a conservação da energia mecânica através da colisão: com 9,0 m/s o conjunto subiria 4,05 m. Na colisão inelástica, só a quantidade de movimento se conserva; a energia, só antes e depois dela.

A ideia em uma frase: polia móvel: metade da força, o dobro do fio; e numa colisão em que os corpos grudam, usa-se a quantidade de movimento, nunca a energia.

Resposta: soma 20 (04 + 16).