UEM 2019 (Inverno, Conhecimentos Específicos) — questão 26 de Física

Gabarito 23Gravitação — terceira lei de Kepler e valor de G em outras unidadesVestibular de Inverno · Conhecimentos Específicos de Física (somatória)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 26 de Física do UEM 2019 (Inverno, Conhecimentos Específicos)

Enunciado em texto

Considere dois sistemas: o primeiro, denominado Sistema Solar, formado apenas pelo Sol e pelos oito planetas que giram ao seu redor; e o segundo, denominado Sistema Marciano, formado pelo planeta Marte e pelas duas luas que giram ao seu redor (Fobos e Deimos). Para esses sistemas, a lei da Gravitação Universal afirma que o módulo da força F⃗\vec{F} de atração entre o Sol e um determinado planeta, ou entre Marte e uma determinada lua, separados por uma distância rr, é dado por F=GMmr2F = G\frac{Mm}{r^2}, em que MM é a massa do corpo central do sistema considerado e mm é a massa de um dos planetas ou de uma das luas em questão. Suponha que os planetas do Sistema Solar ou as luas do Sistema Marciano descrevam órbitas circulares em torno do Sol ou de Marte, respectivamente. Desconsidere a interação dos planetas entre si e das luas entre si. Nesse caso, tem-se que G=4π2Mr3T2G = \frac{4\pi^2}{M}\frac{r^3}{T^2}, em que MM é a massa do Sol ou é a massa de Marte; rr é a distância entre o Sol e o planeta considerado ou é a distância entre Marte e a lua considerada; e TT é o período de translação do planeta considerado em torno do Sol ou é o período de translação da lua considerada em torno de Marte. Assinale o que for correto.

(01) Mesmo sabendo-se que os oito planetas se movimentam com períodos de translação diferentes e estão a distâncias diferentes do Sol, a razão r3T2\frac{r^3}{T^2} apresenta o mesmo valor para todos eles.

(02) Mesmo sabendo-se que as duas luas se movimentam com períodos de translação diferentes e estão a distâncias diferentes de Marte, a razão r3T2\frac{r^3}{T^2} apresenta o mesmo valor para ambas.

(04) O valor da razão r3T2\frac{r^3}{T^2} depende do sistema considerado.

(08) O valor de GG depende do sistema considerado.

(16) Em função das unidades de medida centímetro, grama e hora, o valor de GG é menor que 1 cm3g⋅h21\ \frac{\text{cm}^3}{\text{g} \cdot \text{h}^2} para os dois sistemas considerados.

(Enunciado: Vestibular UEM 2019 (Inverno), Conhecimentos Específicos — UEM/CVU.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Estadual de Maringá (UEM), Comissão Central do Vestibular Unificado (CVU).

Resolução comentada

O que a questão pede: interpretar a terceira lei de Kepler na forma dada e converter GG de unidade.

Passo 1 — a relação. Isolando a razão:

r3T2=G M4π2\frac{r^3}{T^2} = \frac{G\,M}{4\pi^2}

Ela depende só da massa MM do corpo central (e de constantes).

(01) Verdadeira. Para todos os planetas, MM é a massa do Sol: a razão é a mesma. É a terceira lei de Kepler.

(02) Verdadeira. Para as duas luas, MM é a massa de Marte: a razão é a mesma.

(04) Verdadeira. O Sol e Marte têm massas diferentes, então a constante de Kepler é diferente em cada sistema.

(08) Falsa. GG é a constante da gravitação universal: tem o mesmo valor em qualquer sistema. O que muda de um sistema para outro é MM, e a razão r3/T2r^3/T^2 muda junto, mantendo GG fixo.

(16) Verdadeira. Com G=6,67×10−11 m3/(kg⋅s2)G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{m}^3/(\text{kg} \cdot \text{s}^2) e 1 m3=106 cm31\ \text{m}^3 = 10^6\ \text{cm}^3, 1 kg=1031\ \text{kg} = 10^3 g, 1 s=136001\ \text{s} = \frac{1}{3600} h:

G=6,67×10−11×106×36002103G = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \frac{10^6 \times 3600^2}{10^3}

G=6,67×10−8×1,296×107G = 6{,}67 \times 10^{-8} \times 1{,}296 \times 10^{7}

G≈0,86 cm3g⋅h2G \approx 0{,}86\ \frac{\text{cm}^3}{\text{g} \cdot \text{h}^2}

Menor que 1, e igual nos dois sistemas.

⚠️ A armadilha: na (08), ler a fórmula G=4π2r3/(MT2)G = 4\pi^2 r^3/(MT^2) e achar que GG muda com o sistema. Quando MM muda, r3/T2r^3/T^2 muda na mesma proporção.

A ideia em uma frase: r³/T² é constante para os satélites de um mesmo corpo central e proporcional à massa dele; G é a mesma em todo o Universo.

Resposta: soma 23 (01 + 02 + 04 + 16).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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