UEM 2013 (Inverno) — questão 31 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: acompanhar a energia do pêndulo que perde 20% a cada oscilação.

Passo 1 — a sequência. Perder 20% é ficar com 80%: a cada oscilação a energia cinética (no ponto mais baixo) é multiplicada por 0,8.

$$E_n = E_0\,(0{,}8)^n$$

(01) Falsa. A energia cinética é proporcional a $v^2$, não a $v$:

$$v_1 = 6\sqrt{0{,}8} \approx 5{,}4\ \text{m/s}$$

O 4,8 m/s sai de tirar 20% da velocidade, e não da energia.

(02) Verdadeira. Cada termo é o anterior vezes $0{,}8 = 4/5$: PG de razão 4/5.

(04) Falsa.

$$(0{,}8)^3 = 0{,}512 > 0{,}5$$

Depois de três oscilações ainda resta 51,2% da energia inicial, um pouco mais que a metade.

(08) Verdadeira. A maior subida é na primeira ida, com toda a energia inicial (e mesmo isso já é um teto, pois o atrito tira um pouco no caminho):

$$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{36}{20} = 1{,}8\ \text{m}$$

(16) Falsa. Com a altura de 1,8 m, o ângulo máximo seria

$$\cos\alpha = 1 - \frac{h}{L} = 1 - \frac{1{,}8}{3{,}6}$$

$$\cos\alpha = 0{,}5 \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}$$

Esse é o limite sem perdas; com o atrito, o pêndulo nunca passa de 60° (e as oscilações seguintes são ainda menores).

⚠️ A armadilha: a (01). Energia cinética vai com o quadrado da velocidade: perder 20% da energia faz a velocidade cair só uns 10,6%.

A ideia em uma frase: perdas percentuais iguais a cada ciclo formam uma PG; e a energia que sobra no ponto baixo vira altura, h = v²/2g.

Resposta: soma 10 (02 + 08).