UECE 2024.1 — questão 43 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a amplitude L, escrita com os coeficientes da parábola $V^2(x)$.

Passo 1 — onde a velocidade se anula. No MHS, a partícula para nos dois extremos da oscilação, $x = P - L$ e $x = P + L$. Então esses são exatamente os dois valores de x em que $V^2 = 0$: as raízes de $Ax^2 + Bx + C$. (Por isso o enunciado garante Δ > 0: duas raízes diferentes.)

Passo 2 — a distância entre as raízes. Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são $\frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$; a distância entre elas é

$$x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$$

Passo 3 — a amplitude é metade disso. De um extremo ao outro são 2L:

$$2L = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|} \;\Rightarrow\; L = \frac{\sqrt{\Delta}}{2|A|}$$

Conferindo pela física do MHS: $V^2 = \omega^2[L^2 - (x - P)^2]$. Abrindo:

$$V^2 = -\omega^2 x^2 + 2\omega^2 P\,x$$

$$\quad + \omega^2(L^2 - P^2)$$

Então $A = -\omega^2$, $B = 2\omega^2P$ e $C = \omega^2(L^2 - P^2)$. Daí

$$\Delta = 4\omega^4P^2 + 4\omega^4(L^2 - P^2) = 4\omega^4L^2$$

$$\sqrt{\Delta} = 2\omega^2 L = 2|A|\,L$$

que é o mesmo resultado.

Um detalhe de sinal: como $A = -\omega^2$ é negativo (a parábola tem de abrir para baixo, senão a velocidade cresceria sem limite longe do centro), a expressão exata é $\sqrt{\Delta}/(2|A|)$, ou $-\sqrt{\Delta}/2A$. A alternativa C traz essa forma sem o módulo; mesmo assim, é a única com a estrutura certa, e é a resposta esperada.

Por que não as outras: com os valores acima, $B/A = -2P$ e $C/A = P^2 - L^2$ dependem da posição do centro P, e não só da amplitude; $\Delta/4A = -\omega^2L^2$ nem tem unidade de comprimento (é velocidade ao quadrado).

⚠️ A armadilha: a (D), que lembra o $-\Delta/4a$ do vértice da parábola. Só que o vértice dá o valor máximo de V² (a velocidade no centro, ao quadrado), não a amplitude.

A ideia em uma frase: a velocidade zera nos extremos do MHS: as raízes de V²(x) são P ± L, e metade da distância entre elas é a amplitude, √Δ/(2|A|).

Resposta: alternativa C (√Δ/2A, a menos do sinal de A).