Santa Casa 2018 — questão 65 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanta energia mecânica se perdeu entre a saída da esfera em A e a parada momentânea em B.

Passo 1 — nos dois pontos a esfera está parada. Em A ela é abandonada do repouso, e em B ela para instantaneamente. Então, nos dois pontos, a energia mecânica é só potencial gravitacional. A energia dissipada é a diferença entre elas:

$$E_{\text{diss}} = m\,g\,h_A - m\,g\,h_B$$

Passo 2 — a altura em relação a C. Com o fio inclinado de um ângulo θ, a esfera fica $L\cos\theta$ abaixo de O. O ponto C fica L abaixo de O. Logo a altura acima de C é:

$$h = L - L\cos\theta = L\,(1 - \cos\theta)$$

$$h_A = L\,(1 - 0{,}4) = 0{,}6\,L$$

$$h_B = L\,(1 - 0{,}8) = 0{,}2\,L$$

Passo 3 — a energia dissipada:

$$E_{\text{diss}} = m\,g\,(0{,}6\,L - 0{,}2\,L)$$

$$E_{\text{diss}} = 0{,}4\,m\,g\,L$$

Uma observação sobre os dados: os valores dados para α não combinam exatamente ($0{,}9^2 + 0{,}4^2 = 0{,}97$, e não 1). Mas a conta só usa os cossenos, que dão a altura; os senos (que dariam a distância horizontal até a vertical de O) não entram, e a resposta não muda.

⚠️ As armadilhas: parar na energia inicial, $0{,}6\,mgL$ (alternativa D), ou na final, $0{,}2\,mgL$ (alternativa B). A energia dissipada é a diferença entre as duas. Outra é usar os senos no lugar dos cossenos: o ângulo é medido a partir da vertical, então a parte vertical do fio é $L\cos\theta$.

A ideia em uma frase: se a esfera está parada nos dois pontos, a energia perdida é só a diferença de energia potencial: mg vezes o desnível, com h = L(1 − cos θ).

Resposta: alternativa A (0,4 · m · g · L).