Santa Casa 2018 — questão 63 de Física

Gabarito EGravitação — 2ª lei de Kepler (lei das áreas)Medicina · Prova de Conhecimentos Gerais · Versão 4

Enunciado da questão 63 de Física do Santa Casa 2018 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

A figura representa a trajetória elíptica de determinado planeta em torno do Sol.

[Figura: uma elipse com o Sol num ponto à esquerda do centro; o planeta, no alto da elipse, se move no sentido anti-horário (seta para a esquerda). Duas regiões em forma de “setor”, com vértice no Sol, estão destacadas: $A_1$ , pequena, à esquerda do Sol, junto à extremidade mais próxima da elipse; $A_2$ , muito maior, à direita do Sol, ocupando boa parte da metade direita da elipse.]

Considerando as proporções entre as áreas indicadas na figura, que a linha imaginária que liga esse planeta ao Sol varre a área $A_1$ em um intervalo de tempo $t_1$ e a área $A_2$ em um intervalo de tempo $t_2$ e sendo válida a Lei das Áreas, de Kepler, é correto afirmar que

(A) $\dfrac{(A_2)^2}{(t_2)^3} = \dfrac{(A_1)^2}{(t_1)^3}$

(B) $A_2 \cdot t_2 = A_1 \cdot t_1$

(D) $\dfrac{A_2}{t_2} < \dfrac{A_1}{t_1}$

(E) $A_2 \cdot t_2 > A_1 \cdot t_1$

(Enunciado e figura: Vestibular Santa Casa 2018, Prova de Conhecimentos Gerais — FCMSCSP/Vunesp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Faculdade de Ciências Médicas da Santa Casa de São Paulo (FCMSCSP) e à Fundação VUNESP.

Resolução comentada

O que a questão pede: qual relação entre áreas e tempos é verdadeira, usando a lei das áreas.

Passo 1 — a lei das áreas. A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. Ou seja, a área varrida por unidade de tempo (a “velocidade areolar”) é constante:

$\frac{A_1}{t_1} = \frac{A_2}{t_2} = k$

Isso já elimina (C) e (D), que dizem que essas razões são diferentes.

Passo 2 — comparar os tempos. Pela figura, $A_2 > A_1$ . Como cada área é proporcional ao seu tempo ( $A = k\,t$ ), o tempo também é maior: $t_2 > t_1$ .

Passo 3 — os produtos. Multiplicando duas quantidades maiores, o produto é maior:

$A_2 \cdot t_2 = k\,t_2^2 > k\,t_1^2 = A_1 \cdot t_1$

Essa é a alternativa E. Pelo mesmo motivo, a (B), que iguala os produtos, é falsa.

Por que não a (A): ela mistura a lei das áreas com a 3ª lei de Kepler, que relaciona o período ao cubo do semieixo maior da órbita ( $T^2 / a^3$ constante). Áreas e tempos parciais não obedecem a essa relação: como $A_2/t_2 = A_1/t_1$ , os dois lados da (A) só seriam iguais se $t_2 = t_1$ .

⚠️ A armadilha: a alternativa C ou a D, de quem pensa que a área maior “corre mais rápido” ou “mais devagar”. O que muda ao longo da órbita é a velocidade do planeta (maior perto do Sol); a área varrida por unidade de tempo é sempre a mesma.

A ideia em uma frase: pela lei das áreas, área e tempo são proporcionais: área maior leva tempo maior, e A/t é o mesmo em qualquer trecho da órbita.

Resposta: alternativa E ( $A_2 \cdot t_2 > A_1 \cdot t_1$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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