PUC-SP 2017 (inverno) — questão 18 de Física

Gabarito AMHS — esfera presa a mola em elevador que para subitamenteVestibular de Inverno · Prova objetiva
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 18 de Física do PUC-SP 2017 (inverno)

Enunciado em texto

Quando necessário, adote:

módulo da aceleração da gravidade: 10 m.s−210\ \text{m.s}^{-2}; calor latente de vaporização da água: 540 cal.g−1540\ \text{cal.g}^{-1}; calor específico da água: 1,0 cal.g−1.∘C−11{,}0\ \text{cal.g}^{-1}.{}^{\circ}\text{C}^{-1}; densidade da água: 1 g.cm−31\ \text{g.cm}^{-3}; constante universal dos gases ideais: R=8,0 J.mol−1.K−1R = 8{,}0\ \text{J.mol}^{-1}.\text{K}^{-1}; massa específica do ar: 1,225.10−3 g.cm−31{,}225.10^{-3}\ \text{g.cm}^{-3}; massa específica da água do mar: 1,025 g.cm−31{,}025\ \text{g.cm}^{-3}; 1cal = 4,0 J

Uma esfera de massa 1000g encontra-se em equilíbrio estático quando suspensa por uma mola ideal que está presa, por uma de suas extremidades, ao teto de um elevador que executa um movimento de ascensão com velocidade constante de módulo 2m.s−12\text{m.s}^{-1}. Quando o botão de emergência é acionado, o elevador para subitamente e, então, o sistema mola+esfera passa a oscilar em MHS com amplitude de 10cm. Determine, em unidades do SI, a constante elástica da mola. Despreze a resistência do ar durante a oscilação.

Adote:

20=4,5\sqrt{20} = 4{,}5

[Foto: interior de um elevador com uma esfera branca pendurada no teto por uma mola.]

(A) 425

(B) 450

(C) 475

(D) 500

(Enunciado e figura: Vestibular PUC-SP 2017 (Inverno) — PUC-SP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).

Resolução comentada

O que a questão pede: a constante elástica k, a partir da velocidade no momento da parada e da amplitude do MHS.

Passo 1 — o estado no instante da parada. Com o elevador em velocidade constante, a esfera está em equilíbrio: a mola está esticada de x0=mg/kx_0 = mg/k. Quando o elevador para, a esfera continua subindo a 2 m/s em relação a ele, partindo da posição de equilíbrio.

Passo 2 — a física correta. Numa mola vertical, o peso só desloca o centro da oscilação: o MHS acontece em torno da posição de equilíbrio (mola esticada de mg/kmg/k), com ω=k/m\omega = \sqrt{k/m}. A esfera passa pelo centro com a velocidade máxima, vmaˊx=ωAv_{\text{máx}} = \omega A:

ω=vA=20,10=20 rad/s\omega = \frac{v}{A} = \frac{2}{0{,}10} = 20\ \text{rad/s}

k=mω2=1×400=400 N/mk = m\omega^2 = 1 \times 400 = 400\ \text{N/m}

Esse valor não está entre as alternativas.

Passo 3 — de onde sai a resposta da banca. O “adote 20=4,5\sqrt{20} = 4{,}5” denuncia o raciocínio esperado: tratar a deformação da mola x0=mg/kx_0 = mg/k como se fosse o afastamento em relação ao centro da oscilação (isto é, centrar o MHS na mola relaxada). Aí a amplitude sairia de A2=x02+(v/ω)2A^2 = x_0^2 + (v/\omega)^2:

0,01=(10k)2+4k0{,}01 = \left(\frac{10}{k}\right)^2 + \frac{4}{k}

k2−400k−10 000=0k^2 - 400k - 10\,000 = 0

k=200+5020k = 200 + 50\sqrt{20}

k≈200+225=425 N/mk \approx 200 + 225 = 425\ \text{N/m}

Atenção: a questão tem defeito. Esse modelo ignora que o peso desloca o ponto de equilíbrio da mola vertical; com a física correta, a esfera começa no centro do MHS e k = 400 N/m, que não aparece. A alternativa A (425) é a mais defensável: é a que o enunciado pretende (o dado 20\sqrt{20} só serve para ela) e é também a mais próxima do valor correto.

⚠️ A armadilha: além do erro do próprio enunciado, esquecer de passar a amplitude para metros (10 cm = 0,10 m) ou a massa para kg (1 000 g = 1 kg).

A ideia em uma frase: no MHS, a velocidade no centro é ωA; numa mola vertical, o centro é a posição de equilíbrio com o peso, não a mola relaxada.

Resposta: alternativa A (425 N/m, valor pretendido pela banca; a física correta dá 400 N/m).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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