Insper 2019 (Engenharias, 2º semestre) — questão 5 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a densidade dos grãos, sabendo quanto o navio afundou ao recebê-los e que volume eles ocupam.

Passo 1 — o volume do navio. Vazio, ele flutua: o empuxo sobre 20% do volume (V) equilibra o peso:

$$\rho_a\,g\,(0{,}2\,V) = P_{\text{navio}}$$

$$10^{3} \times 10 \times 0{,}2\,V = 10^{9}$$

$$V = 5 \times 10^{5}\ \text{m}^3$$

Passo 2 — o peso dos grãos. Carregado, o empuxo sobre 60% do volume equilibra navio + grãos. O aumento do volume submerso (40% de V) sustenta exatamente o peso dos grãos:

$$P_{\text{grãos}} = \rho_a\,g\,(0{,}4\,V)$$

$$P_{\text{grãos}} = 10^{4} \times 2 \times 10^{5} = 2 \times 10^{9}\ \text{N}$$

Então a massa dos grãos é $m = 2 \times 10^{8}$ kg.

Passo 3 — a densidade. Os grãos ocupam metade do navio:

$$V_{\text{grãos}} = 2{,}5 \times 10^{5}\ \text{m}^3$$

$$\rho = \frac{2 \times 10^{8}}{2{,}5 \times 10^{5}} = 800\ \text{kg/m}^3$$

Isto é, $0{,}8 \times 10^{3}\ \text{kg/m}^3$.

Atalho: em proporção, os grãos acrescentam 40% de V de água deslocada e ocupam 50% de V; logo sua densidade é 40/50 = 0,8 da densidade da água.

⚠️ A armadilha: usar os 60% inteiros como se fossem só dos grãos: sairia $0{,}6/0{,}5 = 1{,}2$ vez a densidade da água, a alternativa (B). Parte daquele empuxo sustenta o próprio navio.

A ideia em uma frase: o volume extra que afunda, vezes a densidade da água, é a massa da carga; divida pelo volume da carga.

Resposta: alternativa A ($0{,}8 \times 10^{3}\ \text{kg/m}^3$).