ENEM 2020 — questão 109 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a próxima frequência de ressonância, sabendo que a menor medida foi $135\ \text{Hz}$ e que a cavidade tem os $30\ \text{m}$ de projeto.

Passo 1 — o modelo. O enunciado entrega: a cavidade se comporta "como um tubo sonoro fechado" — aberta em cima (onde está o aparelho) e fechada embaixo (o fundo do buraco). Nesse tubo há um nó no fundo e um ventre na boca, e só cabem os harmônicos ímpares:

$$f_n = n\,\frac{v}{4L} \qquad \text{com } n = 1, 3, 5, 7, \ldots$$

Passo 2 — o passo que economiza toda a conta. A questão não pede um harmônico específico: pede o seguinte. E, num tubo fechado, o intervalo entre duas ressonâncias consecutivas é sempre o mesmo:

$$\Delta f = f_{n+2} - f_n = 2\,\frac{v}{4L} = \frac{v}{2L}$$

Passo 3 — calcular esse intervalo.

$$\Delta f = \frac{360}{2 \times 30} = \frac{360}{60} = 6\ \text{Hz}$$

Passo 4 — somar.

$$f_{\text{próxima}} = 135 + 6 = \mathbf{141\ \text{Hz}}$$

Confere que 135 Hz é mesmo uma ressonância desse tubo: o fundamental é $v/4L = 360/120 = 3\ \text{Hz}$, e os harmônicos são $3, 9, 15, \ldots$, todos múltiplos ímpares de 3. Como $135/3 = 45$, e 45 é ímpar, $135$ Hz está na lista. A conta fecha com o enunciado — bom sinal de que o modelo escolhido é o certo.

Por que isso serve como medida de profundidade: é assim que o teste funciona na obra. Duas ressonâncias consecutivas dão $\Delta f$, e daí sai $L = v/(2\Delta f)$ sem precisar descer ninguém no buraco.

A armadilha das alternativas (A) 137 e (B) 138: são o que sai de somar $2$ ou $3$ Hz — ou seja, de usar o intervalo do tubo aberto ($v/2L$ mal calculado) ou o próprio fundamental como passo. O passo num tubo fechado é o dobro do fundamental.

A ideia em uma frase: em tubo fechado, ressonâncias consecutivas ficam sempre $v/2L$ apartadas — some e pronto.